सर्वनिष्ट(समुच्चय)

समुच्चयों का सर्वनिष्ठ

समुच्चय $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ है। प्रतीक '$\cap$' का प्रयोग सर्वनिष्ठ को निरूपित करने के लिए किया जाता है। समुच्चय $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो $A$ और $B$ दोनों में हों। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि $A\cap B=\{x:x\in A$ और $x\in B\}$

उदाहरण

मान लीजिए कि$A=\{2,4,6,8\}$और $B=\{6,8,10,12\}$। $A\cup B$ ज्ञात कीजिए।

हम देखते हैं कि $A\cup B=\{2,4,6,8,10,12\}$

उदाहरण 1: उपर्युक्त उदाहरण के समुच्चय $A$ और $B$ पर विचार करते हुए | $A\cap B$ ज्ञात कीजिए।

हल: हम देखते हैं कि केवल $6$ और $8$ ही ऐसे अवयव हैं जो $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ हैं। अतः$A\cap B=\{6,8\}$

उदाहरण 2: मान लीजिए कि $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ और $B=\{2,3,5,7\}$ $A\cap B$ ज्ञात कीजिए और इस प्रकार दिखाइए कि $A\cap B=B$ ।

हल: हल हम देखते हैं कि $A\cap B=\{2,3,5,7\}=B$ हम ध्यान देते हैं कि $B\subset A$ और $A\cap B=B$

परिभाषा

चित्र -समुच्चयों का सर्वनिष्ठ

समुच्चय $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो $A$ और $B$ दोनों में हो। प्रतीकात्मक रूप में, हम लिखते हैं कि $A\cap B=\{x:x\in A$ और $x\in B\}$

चित्र में छायांकित भाग, $A$ और $B$ के सर्वनिष्ठ को प्रदर्शित करता है।

यदि $A$ और $B$ ऐसे दो समुच्चय हों कि$A\cap B=\phi$, तो $A$और $B$ असंयुक्त समुच्चय कहलाते हैं। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि $A=\{2,4,6,8\}$ और $B=\{1,3,5,7\}$, तो $A$ और $B$ असंयुक्त समुच्चय हैं, क्योंकि $A$ और $B$ में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। असंयुक्त समुच्चयों को वेन आरेख द्वारा निरूपित किया जा सकता है, जैसा चित्र में प्रदर्शित है। उपर्युक्त आरेख में $A$ और $B$ असंयुक्त समुच्चय हैं।

सर्वनिष्ठ संक्रिय के कुछ गुणधर्म

(i) $A\cap B=B\cap A$ ( क्रम विनिमय नियम )

(ii) $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ (साहचर्य नियम)

(iii) $\phi \cap A=\phi ,U\cap A=A$ ($\phi$ और $U$ के नियम)

(iv) $A\cap A=A$ ( वर्गसम नियम )

(v) $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ ( वितरण या बंटन नियम)

अर्थात् $\cap$ वितरित होता है $\cup$ पर

नीचे दिए गए वेन आरेखों [चित्र (I) - (V)] द्वारा इस बात को सरलता से देख सकते हैं।

चित्र-1-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ $B\cup C$

चित्र-2-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ $A\cap (B\cup C)$

चित्र-3-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ $A\cap B$

चित्र-4-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ $A\cap C$

चित्र-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ $(A\cap B)\cup (A\cap C)$