कुछ फलन और उनके आलेख: Difference between revisions

Revision as of 06:20, 8 November 2024

तत्समक फलन

मान लीजिए $R$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। $y=f(x)$ , प्रत्येक $x\in R$ द्वारा परिभाषित वास्तविक मान फलन $f:R\rightarrow R$ है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर $f$ के प्रांत तथा परिसर $R$ हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है(चित्र-1)। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।

चित्र-2 f(x)=3

अचर फलन

$y=f(x)=c$ जहाँ $c$ एक अचर है और प्रत्येक $x\in R$ द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन $f:R\rightarrow R$ है। यहाँ पर $f$ का प्रांत $R$ है और उसका परिसर $\{c\}$ है। $f$ का आलेख $x$ - अक्ष के समांतर एक रेखा है, उदाहरण के लिए यदि $f(x)=3$ प्रत्येक $x\in R$ है, तो इसका आलेख (चित्र- 2) में दर्शाई रेखा है।

बहुपद फलन या बहुपदीय फलन

फलन $f:R\rightarrow R$ , एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि $R$ के प्रत्येक $x$ के लिए, $y=f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+....+a_{n}x^{n}$ , जहाँ ” $n$ " एक ऋणेतर पूर्णांक है तथा $a_{0},a_{1},a_{2},.....a_{n}\in R$ ।

$f(x)=x^{3}-x^{2}+2$ , और $g(x)=x^{4}+{\sqrt {2}}x$ , द्वारा परिभाषित फलन एक बहुपदीय फलन है जब कि $h(x)=x^{\frac {2}{3}}+2x$ द्वारा परिभाषित फलन $h$ , बहुपदीय फलन नहीं है।

परिमेय फलन

${\frac {f(x)}{g(x)}}$ के प्रकार के फलन जहाँ $f(x)$ तथा $g(x)$

एक प्रांत में, $x$ के परिभाषित बहुपदीय फलन हैं, जिसमें $g(x)\neq 0$ परिमेय फलन कहलाते हैं।

उदाहरण एक वास्तविक मान फलन $f colon upper R minus StartSet 0 EndSet right arrow upper R$

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 == तत्समक फलन ==
-मान लीजिए <math>R</math> वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। <math>y=f(x)</math>, प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित वास्तविक मान फलन <math>f:R\rightarrow R</math>  है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर <math>f</math> के प्रांत तथा परिसर <math>R</math> हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है(चित्र-1)। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।
+मान लीजिए <math>R</math> वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। <math>y=f(x)</math>, प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित वास्तविक मान [[फलन]] <math>f:R\rightarrow R</math>  है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर <math>f</math> के प्रांत तथा परिसर <math>R</math> हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है(चित्र-1)। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।
 [[File:फलन f(x)=3.jpg|thumb|चित्र-2 f(x)=3]]
 == अचर फलन ==
-<math>y=f(x)=c</math>  जहाँ <math>c</math> एक अचर है और प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन <math>f:R\rightarrow R</math> है। यहाँ पर <math>f</math> का प्रांत <math>R</math> है और उसका परिसर <math>\{c\}</math> है। <math>f</math> का आलेख <math>x</math>- अक्ष के समांतर एक रेखा है, उदाहरण के लिए यदि <math>f(x)=3</math> प्रत्येक <math>x\in R</math> है, तो इसका आलेख (चित्र- 2) में दर्शाई रेखा है।
+<math>y=f(x)=c</math>  जहाँ <math>c</math> एक अचर है और प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन <math>f:R\rightarrow R</math> है। यहाँ पर <math>f</math> का प्रांत <math>R</math> है और उसका परिसर <math>\{c\}</math> है। <math>f</math> का आलेख <math>x</math>- अक्ष के समांतर एक [[रेखा]] है, उदाहरण के लिए यदि <math>f(x)=3</math> प्रत्येक <math>x\in R</math> है, तो इसका आलेख (चित्र- 2) में दर्शाई रेखा है।
 == बहुपद फलन या बहुपदीय फलन ==
-फलन <math>f:R\rightarrow R</math>, एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि <math>R</math> के प्रत्येक <math>x</math> के लिए, <math>y=f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n</math>, जहाँ ”<math>n</math>" एक ऋणेतर पूर्णांक है तथा <math>a_0,a_1,a_2,.....a_n\in R</math> ।
+फलन <math>f:R\rightarrow R</math>, एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि <math>R</math> के प्रत्येक <math>x</math> के लिए, <math>y=f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n</math>, जहाँ ”<math>n</math>" एक ऋणेतर [[पूर्णांक]] है तथा <math>a_0,a_1,a_2,.....a_n\in R</math> ।
 <math>f(x)=x^3-x^2+2  </math>, और <math> g(x)=x^4+\sqrt{2}x</math>, द्वारा परिभाषित फलन एक बहुपदीय फलन है जब कि <math>h(x)=x^\frac{2}{3}+2x</math> द्वारा परिभाषित फलन <math>h</math>, बहुपदीय फलन नहीं है।