सममित तथा विषम सममित आव्यूह: Difference between revisions

Revision as of 16:35, 28 November 2024

सममित आव्यूह

सममित आव्यूह, एक वर्ग आव्यूह है जो इसके परिवर्त(ट्रांसपोज़) आव्यूह के समान होता है। किसी भी दिए गए आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह $A^{T}$ के रूप में दिया जा सकता है। इसलिए, एक सममित आव्यूह $A,A=A^{T}$ की शर्त को पूरा करता है। सभी विभिन्न प्रकार के मैट्रिसेस में से, सममित आव्यूह सबसे महत्वपूर्ण में से एक है जिसका उपयोग मशीन लर्निंग में व्यापक रूप से किया जाता है।

इस लेख में, आइए सममित आव्यूह , उनकी परिभाषाओं और हल किए गए उदाहरणों के साथ गुणधर्मों के बारे में जानें।

परिभाषा

रैखिक बीजगणित में सममित आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जो तब अपरिवर्तित रहता है जब इसका परिवर्त की गणना की जाती है। इसका अर्थ है, एक आव्यूह जिसका परिवर्त $B$ आव्यूह के बराबर होता है, उसे सममित आव्यूह कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

एक वर्ग आव्यूह जिसका आकार $n\times n$ है, उसे सममित माना जाता है यदि और केवल यदि $B^{T}=B$ है। दिए गए आव्यूह $B$ पर विचार करें, अर्थात, एक वर्ग आव्यूह जो उस आव्यूह के परिवर्त रूप के बराबर है, जिसे सममित आव्यूह कहा जाता है।

इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: यदि $B=[b_{ij}]_{n\times n}$ सममित आव्यूह है, तो

$b_{ij}=b_{ji}$

सभी $i$ और $j$ के लिए या $1\leq i\leq n,$ और $1\leq j\leq n,$ । यहाँ,

$n$ कोई भी प्राकृतिक संख्या है।
$b_{ij}$ स्थिति $(i,j)$ पर एक तत्व है जो आव्यूह $B$ में $i$ वीं पंक्ति और $j$ वां स्तंभ है, और
$b_{ji}$ स्थिति $(j,i)$ पर एक तत्व है जो आव्यूह $B$ में $j$ वीं पंक्ति और $i$ वां स्तंभ है।

सममित आव्यूह उदाहरण

आइए आव्यूह $B$ का एक उदाहरण लेते हैं,

यहाँ, हम देख सकते हैं कि, $B^{T}=B$ । उदाहरण के लिए, $b_{12}=b_{21}=3,$ और $b_{13}=b_{31}=6,$ . इस प्रकार, B एक सममित आव्यूह है। नीचे विभिन्न क्रमों के सममित आव्यूह के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

$B={\begin{bmatrix}2&3&6\\3&4&5\\6&5&9\end{bmatrix}}$

$B^{T}={\begin{bmatrix}2&3&6\\3&4&5\\6&5&9\end{bmatrix}}$

2 X 2 सममित आव्यूह उदाहरण: $B={\begin{bmatrix}1&-2\\-2&0\end{bmatrix}}$

3 X 3 सममित आव्यूह उदाहरण : $B={\begin{bmatrix}1&2&-1\\2&1&3\\-1&3&0\end{bmatrix}}$

4 X 4 सममित आव्यूह उदाहरण: $B = [\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ - 1 & 3 \end{matrix}$

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 == सममित आव्यूह प्रमेय ==
-सममित आव्यूह से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय हैं। इस अनुभाग में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।
+सममित आव्यूह से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय होते हैं। इस लेख में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।
-प्रमेय 1: वास्तविक संख्या तत्वों वाले किसी भी वर्ग आव्यूह B के लिए, B + BT एक सममित आव्यूह है, और B - BT एक तिरछा-सममित आव्यूह है।
+'''प्रमेय 1''': [[वास्तविक संख्याएँ|वास्तविक संख्या]] तत्वों वाले किसी भी वर्ग [[आव्यूह]] <math>B</math> के लिए, <math> B + B^T</math> एक सममित आव्यूह है, और <math> B - B^T</math> एक विषम -सममित आव्यूह है।
 उपाय:
-मान लें A = B + BT.
+मान लें <math>A = B + B^T</math>।
-एक परिवर्त लेते हुए, AT = (B + BT)T = BT + (BT)T = BT + B = B + BT = A
+एक परिवर्त लेते हुए, <math>A^T = (B + B^T)^T = BT + (B^T)^T = B^T + B = B + B^T = A</math>
-इसका अर्थ है B + BT एक सममित आव्यूह है।
+इसका अर्थ है <math> B + B^T
+</math> एक सममित आव्यूह है।
-इसके बाद, मान लें C = B - BT
+इसके बाद, मान लें <math>C = B - B^T</math>
-CT = (B + (- BT))T = BT + (- BT)T = BT - (BT)T = BT- B = - (B - BT) = - C
+<math>C^T = (B + (- B^T))^T = BT + (- B^T)^T = BT - (B^T)^T = B^T- B = - (B - B^T) = - C</math>
-इसका अर्थ है B - BT एक तिरछा-सममित आव्यूह है।
+इसका अर्थ है <math> B - B^T</math> एक तिरछा-सममित आव्यूह है।
-प्रमेय 2: किसी भी वर्ग आव्यूह को तिरछा-सममित आव्यूह और सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। सममित और तिरछा-सममित आव्यूह का योग ज्ञात करने के लिए, हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं:
+'''प्रमेय 2''': किसी भी वर्ग आव्यूह को विषम -सममित आव्यूह और सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। सममित और विषम -सममित आव्यूह का योग ज्ञात करने के लिए, हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं:
-मान लें कि B एक वर्ग आव्यूह है। फिर,
+मान लें कि <math>B</math> एक वर्ग आव्यूह है। फिर,
-B = (1/2) × (B + BT) + (1/2 ) × (B - BT)। यहाँ, BT वर्ग आव्यूह B का परिवर्त है।
+<math>B = \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B + B^T) + \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B - B^T)</math>। यहाँ, <math>B^T</math> वर्ग आव्यूह <math>B</math> का परिवर्त है।
-यदि B + BT एक सममित आव्यूह है, तो (1/2) × (B + BT) भी एक सममित आव्यूह है
+यदि <math> B + B^T</math> एक सममित आव्यूह है, तो <math>\left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B + B^T)</math> भी एक सममित आव्यूह है
-यदि B - BT एक तिरछा-सममित आव्यूह है, तो (1/2 ) × (B - BT) भी एक तिरछा-सममित आव्यूह है
+यदि <math> B - B^T</math> एक विषम -सममित आव्यूह है, तो <math>\left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B - B^T)</math> भी एक विषम -सममित आव्यूह है
-इस प्रकार, किसी भी वर्ग आव्यूह को तिरछा-सममित आव्यूह और सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+इस प्रकार, किसी भी वर्ग आव्यूह को विषम -सममित आव्यूह और सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
-'''Example:''' Express the following matrix as the sum of a symmetric and skew symmetric matrix:
+== उदाहरण ==
+निम्नलिखित आव्यूह को सममित और विषम -सममित आव्यूह  के योग के रूप में व्यक्त करें:
-B=⎡⎢⎣1−14213430⎤⎥⎦
+<math>B=\begin{bmatrix} 1 & -1 &4 \\ 2 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix}</math>
-'''Solution:'''
+'''समाधान''':
-Since any matrix can be represented as a sum of a symmetric matrix and a skew symmetric matrix, we can therefore express matrix B as,
+चूँकि किसी भी आव्यूह को सममित आव्यूह और विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए हम आव्यूह <math>B</math>  को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं,
-B = (1/2) × (B + B<sup>T</sup>) + (1/2 ) × (B - B<sup>T</sup>), where (1/2) × (B + B<sup>T</sup>) is a symmetric matrix and (1/2) × (B - B<sup>T</sup>) is a skew symmetric matrix.
+<math>B = \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B + B^T) + \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B - B^T),</math> जहाँ  <math> \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B + B^T)</math> एक सममित आव्यूह है और <math>\left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B - B^T)</math> एक विषम सममित आव्यूह है।
-⇒ (1/2) × (B + B<sup>T</sup>) = (1/2) ⎡⎢⎣1−14213430⎤⎥⎦ + ⎡⎢⎣124−113430⎤⎥⎦ = (1/2)⎡⎢⎣218126860⎤⎥⎦ = ⎡⎢ ⎢⎣11241213430⎤⎥ ⎥⎦
+<math>\Rightarrow \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B + B^T) =\left ( \frac{1}{2} \right )\begin{bmatrix} 1 & -1&4 \\ 2 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 1& 2&4\\ -1 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix} =\left ( \frac{1}{2} \right )\begin{bmatrix} 2 & 1&8 \\ 1 & 2&6 \\ 8&6&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&\frac{1}{2}&4 \\ \frac{1}{2}&1&3 \\ 4&3&0\end{bmatrix}</math>
-Similarly, (1/2) × (B -B<sup>T</sup>) = (1/2) ⎡⎢⎣1−14213430⎤⎥⎦ - ⎡⎢⎣124−113430⎤⎥⎦ = (1/2)⎡⎢⎣0−30300000⎤⎥⎦ = ⎡⎢ ⎢⎣0−3203200000⎤⎥ ⎥⎦
+इसी प्रकार,
-∴ Matrix B can be expressed as a sum of symmetric matrix and skew symmetric matrix as,
+<math>\Rightarrow \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B - B^T) =\left ( \frac{1}{2} \right )\begin{bmatrix} 1 & -1&4 \\ 2 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1& 2&4\\ -1 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix} =\left ( \frac{1}{2} \right )\begin{bmatrix} 0 & -3&0 \\ 3 & 0&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&\frac{-3}{2}&0 \\ \frac{3}{2}&0&0 \\ 0&0&0\end{bmatrix}</math>
-B=⎡⎢⎣1−14213430⎤⎥⎦ = ⎡⎢ ⎢⎣11241213430⎤⎥ ⎥⎦ + ⎡⎢ ⎢⎣0−3203200000⎤⎥ ⎥⎦
+∴ आव्यूह <math>B</math>  को सममित आव्यूह और विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,
+<math>B=\begin{bmatrix} 1 & -1&4 \\ 2 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&\frac{1}{2}&4 \\ \frac{1}{2}&1&3 \\ 4&3&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0&\frac{-3}{2}&0 \\ \frac{3}{2}&0&0 \\ 0&0&0\end{bmatrix}</math>
+यहाँ, <math>\begin{bmatrix} 1&\frac{1}{2}&4 \\ \frac{1}{2}&1&3 \\ 4&3&0\end{bmatrix}</math> एक सममित आव्यूह है तथा <math>\begin{bmatrix} 0&\frac{-3}{2}&0 \\ \frac{3}{2}&0&0 \\ 0&0&0\end{bmatrix}</math> एक विषम सममित आव्यूह है।
+== सममित आव्यूह  पर महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
+यहाँ कुछ टिप्पणिओं की सूची दी गई है जिन्हें सममित आव्यूह का अध्ययन करते समय याद रखना चाहिए।
+* एक वर्ग आव्यूह जो अपने स्वयं के ट्रांसपोज़्ड रूप के समान होता है उसे सममित आव्यूह कहा जाता है।
+* चूँकि एक वर्ग विकर्ण आव्यूह के सभी अविकर्ण तत्व शून्य होते हैं, इसलिए प्रत्येक वर्ग विकर्ण आव्यूह सममित होता है।
+* दो सममित आव्यूह का योग परिणाम के रूप में एक सममित आव्यूह देता है।
-Here, ⎡⎢ ⎢⎣11241213430⎤⎥ ⎥⎦ is a symmetric matrix and ⎡⎢ ⎢⎣0−3203200000⎤⎥ ⎥⎦ is a skew symmetric matrix.