सममित तथा विषम सममित आव्यूह

I) सममित आव्यूह

सममित आव्यूह, एक वर्ग आव्यूह है जो इसके परिवर्त(ट्रांसपोज़) आव्यूह के समान होता है। किसी भी दिए गए आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह $A^{T}$ के रूप में दिया जा सकता है। इसलिए, एक सममित आव्यूह $A,A=A^{T}$ की शर्त को पूरा करता है। सभी विभिन्न प्रकार के मैट्रिसेस में से, सममित आव्यूह सबसे महत्वपूर्ण में से एक है जिसका उपयोग मशीन लर्निंग में व्यापक रूप से किया जाता है।

इस लेख में, आइए सममित आव्यूह , उनकी परिभाषाओं और हल किए गए उदाहरणों के साथ गुणधर्मों के बारे में जानें।

परिभाषा

रैखिक बीजगणित में सममित आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जो तब अपरिवर्तित रहता है जब इसका परिवर्त की गणना की जाती है। इसका अर्थ है, एक आव्यूह जिसका परिवर्त $B$ आव्यूह के बराबर होता है, उसे सममित आव्यूह कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

एक वर्ग आव्यूह जिसका आकार $n\times n$ है, उसे सममित माना जाता है यदि और केवल यदि $B^{T}=B$ है। दिए गए आव्यूह $B$ पर विचार करें, अर्थात, एक वर्ग आव्यूह जो उस आव्यूह के परिवर्त रूप के बराबर है, जिसे सममित आव्यूह कहा जाता है।

इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: यदि $B=[b_{ij}]_{n\times n}$ सममित आव्यूह है, तो

$b_{ij}=b_{ji}$

सभी $i$ और $j$ के लिए या $1\leq i\leq n,$और $1\leq j\leq n,$। यहाँ,

• $n$ कोई भी प्राकृतिक संख्या है।
• $b_{ij}$ स्थिति $(i,j)$ पर एक तत्व है जो आव्यूह $B$ में $i$वीं पंक्ति और $j$वां स्तंभ है, और
• $b_{ji}$ स्थिति$(j,i)$ पर एक तत्व है जो आव्यूह $B$ में $j$वीं पंक्ति और $i$वां स्तंभ है।

सममित आव्यूह उदाहरण

आइए आव्यूह $B$ का एक उदाहरण लेते हैं,

यहाँ, हम देख सकते हैं कि, $B^{T}=B$। उदाहरण के लिए,$b_{12}=b_{21}=3,$और $b_{13}=b_{31}=6,$. इस प्रकार, B एक सममित आव्यूह है। नीचे विभिन्न क्रमों के सममित आव्यूह के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

$B={\begin{bmatrix}2&3&6\\3&4&5\\6&5&9\end{bmatrix}}$

$B^{T}={\begin{bmatrix}2&3&6\\3&4&5\\6&5&9\end{bmatrix}}$

2 X 2 सममित आव्यूह उदाहरण: $B={\begin{bmatrix}1&-2\\-2&0\end{bmatrix}}$

3 X 3 सममित आव्यूह उदाहरण : $B={\begin{bmatrix}1&2&-1\\2&1&3\\-1&3&0\end{bmatrix}}$

4 X 4 सममित आव्यूह उदाहरण: $B={\begin{bmatrix}1&2&-1&5\\2&1&3&0\\-1&3&0&4\\5&0&4&2\end{bmatrix}}$

सममित आव्यूह के गुणधर्म

यहाँ सममित आव्यूह के कुछ महत्वपूर्ण गुणधर्म दिए गए हैं।

• दो सममित आव्यूह का योग और अंतर परिणामी को सममित आव्यूह के रूप में देता है।
• ऊपर वर्णित गुणधर्म सदैव गुणनफल के लिए सत्य नहीं होता है: सममित आव्यूह $A$ और $B$ दिए गए हैं, तो $AB$ सममित है यदि और केवल यदि $A$ और $B$ गुणधर्म न के विनिमेय गुणधर्म का पालन करते हैं, अर्थात, यदि $AB=BA$ है।
• पूर्णांक $n$ के लिए, यदि $A$ सममित है, तो $\Rightarrow A^{n}$ सममित है।
• एक सममित आव्यूह के आइगेन मान(आइजेनवैल्यू) सदैव वास्तविक और सकारात्मक होते हैं।
• एक सममित आव्यूह के लिए आव्यूह का निर्धारक और उसका परिवर्त समान होता है।
• एक सममित आव्यूह का सहायक सममित होता है।
• सममित आव्यूह का प्रतिलोम सममित होता है।

सममित आव्यूह प्रमेय

सममित आव्यूह से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय होते हैं। इस लेख में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।

प्रमेय 1: वास्तविक संख्या तत्वों वाले किसी भी वर्ग आव्यूह $B$ के लिए, $B+B^{T}$ एक सममित आव्यूह है, और $B-B^{T}$ एक विषम -सममित आव्यूह है।

उपाय:

मान लें $A=B+B^{T}$।

एक परिवर्त लेते हुए, $A^T={(B+B^T)}^T=BT+{(B^{}}^{}$