कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन: Difference between revisions

Revision as of 17:58, 5 December 2024

समाकलन एक विधि है, जो बड़े पैमाने पर फलनों को संक्षेप में प्रस्तुत करती है। इस लेख में, आइए कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन पर चर्चा करें जो साधारणतः गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं। इन समाकलन के वास्तविक जीवन में भी कई तरह के अनुप्रयोग हैं, जैसे कि वक्रों के बीच का क्षेत्र ज्ञात करना, आयतन ज्ञात करना, किसी फलन का औसत मान ज्ञात करना, द्रव्यमान का केंद्र, गतिज ऊर्जा, किए गए कार्य की मात्रा, और बहुत कुछ।

कई महत्वपूर्ण समाकलन सूत्र हैं जो कई अन्य मानक समाकलनों को एकीकृत करने के लिए लागू किए जाते हैं। इस लेख में, हम इन विशिष्ट फलनों के समाकलनों पर एक दृष्टि डालेंगे और देखेंगे कि उनका उपयोग कई अन्य मानक समाकलनों में कैसे किया जाता है।

समाकलन फलनों का प्रमाण

अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।

कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन

फलन 1 का समाकलन

$\int dy/(y^{2}-a^{2})=1/2a\log \left\vert (y-a)/(y+a)\right\vert +C$

जैसा कि आप जानते हैं,

$1/(y^{2}-a^{2})=1/(y-a)(y+a)$

इसका समाधान करते हुए,

$=1/2a(y+a)-(y-a)/(y-a)(y+a)$

इसे और कम करते हुए,

$=1/2a\ 1/(y-a)-1/(y+a)$

अतः, $\int dy/(y^{2}-a^{2})=1/2a\int dy/(y-a)-\int dy/(y+a)$

इसका समाधान करते हुए,

$=1/2a\log \left\vert (y-a)-\log \right\vert (y+a)+C$

अत:,

$=1/2a\log \left\vert (y-a)/(y+a)\right\vert +C$

फलन 2 का समाकलन

$\int d y / (a^{2} - y^{2})$

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-समाकलन एक विधि है, जो बड़े पैमाने पर फलनों को संक्षेप में प्रस्तुत करती है। इस लेख में, आइए कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन पर चर्चा करें जो साधारणतः गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं। इन समाकलन के वास्तविक जीवन में भी कई तरह के अनुप्रयोग हैं, जैसे कि वक्रों के बीच का क्षेत्र ज्ञात करना, आयतन ज्ञात करना, किसी फलन का औसत मान ज्ञात करना, द्रव्यमान का केंद्र, गतिज ऊर्जा, किए गए कार्य की मात्रा, और बहुत कुछ।
+समाकलन एक विधि है, जो बड़े पैमाने पर फलनों को संक्षेप में प्रस्तुत करती है। इस लेख में, आइए कुछ विशिष्ट [[फलनों के प्रकार|फलनों]] के समाकलन पर चर्चा करें जो साधारणतः गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं। इन समाकलन के वास्तविक जीवन में भी कई तरह के अनुप्रयोग हैं, जैसे कि वक्रों के बीच का क्षेत्र ज्ञात करना, आयतन ज्ञात करना, किसी फलन का औसत मान ज्ञात करना, द्रव्यमान का केंद्र, गतिज ऊर्जा, किए गए कार्य की मात्रा, और बहुत कुछ।
-कई महत्वपूर्ण समाकलन सूत्र हैं जो कई अन्य मानक समाकलनों को एकीकृत करने के लिए लागू किए जाते हैं। इस लेख में, हम इन विशिष्ट फलनों के समाकलनों पर एक दृष्टि डालेंगे और देखेंगे कि उनका उपयोग कई अन्य मानक समाकलनों में कैसे किया जाता है।
+कई महत्वपूर्ण [[समाकलन की विधियाँ|समाकलन]] सूत्र हैं जो कई अन्य मानक समाकलनों को एकीकृत करने के लिए लागू किए जाते हैं। इस लेख में, हम इन विशिष्ट फलनों के समाकलनों पर एक दृष्टि डालेंगे और देखेंगे कि उनका उपयोग कई अन्य मानक समाकलनों में कैसे किया जाता है।
-== परिभाषा ==
+== समाकलन फलनों का प्रमाण ==
+अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।
+[[File:कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन.jpg|thumb|कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन]]
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-== समाकलन फलनों का प्रमाण ==
-अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।
 === फलन 1 का समाकलन ===
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 ∫ [(py + q) / (ay<sup>2</sup> + by + c)] dy,
-जहाँ p, q, a, b, c स्थिरांक माने जाते हैं।
+जहाँ <math>p, q, a, b, c</math> स्थिरांक माने जाते हैं।
-इसे हल करने के लिए, आपको स्थिरांक A और B ज्ञात करने होंगे, जैसे कि,
+इसे हल करने के लिए, आपको स्थिरांक <math>A</math> और <math>B</math> ज्ञात करने होंगे, जैसे कि,
-(py + q) = A d/dy (ay<sup>2</sup> + by + c) + B,जो = A (2ay + b) + B बराबर है
+<math>(py + q) = A d/dy (ay^2 + by + c) + B,</math>  जो  <math>= A (2ay + b) + B</math> बराबर है
-‘A’ और ‘B’ निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, y के गुणांकों और स्थिर पदों के दोनों ओर से समान करें। तब ‘A’ और ‘B’ प्राप्त किए जा सकते हैं और इसलिए, समाकल को ज्ञात रूपों में से किसी एक में घटाया जा सकता है।
+‘<math>A</math>’ और ‘<math>B</math>’ निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, y के गुणांकों और स्थिर पदों के दोनों ओर से समान करें। तब ‘<math>A</math>’ और ‘<math>B</math>’ प्राप्त किए जा सकते हैं और इसलिए, समाकल को ज्ञात रूपों में से किसी एक में घटाया जा सकता है।
 == उदाहरण ==
-y के सापेक्ष (y + 3) / √ (5 – 4y + y2) का समाकल ज्ञात कीजिए।
+<math>y</math> के सापेक्ष <math>(y + 3) / \sqrt{ (5 - 4y + y^2)}</math> का समाकल ज्ञात कीजिए।
 समाधान
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 आप अभिव्यक्त कर सकते हैं
-y + 3 = A d/dy (5 – 4y + y<sup>2</sup>) + B = A (– 4 – 2y) + B
+<math>y + 3 = A d/dy (5 - 4y + y^2) + B = A (- 4 - 2y) + B</math>
 गुणांकों को समान करने पर, आपको प्राप्त होता है
-A = – ½ and B = 1
+<math>A = -{1 \over 2}</math> and <math>B = 1</math>
 इसलिए,
-∫ [(y + 3) / √ (5 – 4y + y<sup>2</sup>)] dy = – ½ ∫ [(– 4 – 2y) / √ (5 – 4y + y<sup>2</sup>)] dy + ∫ dy / √ (5 – 4y + y<sup>2</sup>)
+<math>\int  [(y + 3) / \sqrt{(5 -4y + y^2)}] dy = -{1 \over 2} \int  [(- 4 - 2y) / \sqrt{(5 - 4y + y^2)]} dy + \int  dy / \sqrt{(5 - 4y + y^2)}</math>
-= – ½ I<sub>1</sub> + I<sub>2</sub> … (a)
+<math>= -{1 \over 2} I_1 + I_2... (a)</math>
-इसका समाधान करते हुए, I<sub>1</sub>
+इसका समाधान करते हुए, <math>I_1</math>
-प्रतिस्थापन (5 – 4y + y<sup>2</sup>) = t,
+प्रतिस्थापन <math>(5 -4y + y^2) = t,</math>
-(– 4 – 2y) dy = dt
+<math>(- 4 -2y) dy = dt</math>
 इसलिए,
-I<sub>1</sub> = ∫ [(– 4 – 2y) / √ (5 – 4y + y<sup>2</sup>)] dy = ∫ dt / √ t = 2 √ t + C<sub>1</sub>
+<math>I_1 = \int [(- 4- 2y) / \sqrt{(5 - 4y + y^2)}] dy = \int  dt / \sqrt{t} = 2 \sqrt{t} + C_1</math>
-= 2 √ (5 – 4y + y<sup>2</sup>) + C<sub>1</sub> … (b)
+<math>= 2 \sqrt{(5 - 4y + y^2)} + C1...(b)</math>
-इसका समाधान करते हुए, I<sub>2</sub>
+इसका समाधान करते हुए, <math>I_2</math>
-I<sub>2</sub> = ∫ dy / √ (5 – 4y + y<sup>2</sup>) =
+<math>I_2 = \int  dy / \sqrt{ (5 - 4y + y^2)} =</math>
-∫ dy / √ [9 – (y + 2)<sup>2</sup>]
+<math>\int  dy / \sqrt{[9 - (y + 2)^2}]</math>
-प्रतिस्थापन करते हुए (y + 2) = t,
+प्रतिस्थापन करते हुए <math>(y + 2) = t,</math>
-dy = dt
+<math>dy = dt</math>
 इसलिए,
-I<sub>2</sub> = ∫ dt / √ (3<sup>2</sup> – t<sup>2</sup>) = sin<sup>–1</sup> (t/3) + C<sub>2</sub>
+<math>I_2 = \int  dt / \sqrt{ (3^2 - t^2)} = sin^{-1} (t/3) + C_2</math>
 इसका समाधान करते हुए,
-= sin<sup>–1</sup>  + C<sub>2</sub> … (c)
+<math>= sin^{-1}(y+2)/3 + C_2... (c)</math>
-(a) के स्थान पर (b) और (c)  प्रतिस्थापन  करने पर ,
+<math>(a)</math> के स्थान पर <math>(b)</math> और <math>(c)</math> प्रतिस्थापन  करने पर ,
-∫ [(y + 3) / √ (5 – 4y + y<sup>2</sup>)] dy = – ½ I<sub>1</sub> + I<sub>2</sub>
+<math>\int  [(y + 3) / \sqrt{(5 - 4y + y^2)}] dy = -{1 \over 2} I_1 + I_2</math>
-= – √ (5 – 4y + y<sup>2</sup>) + sin<sup>–1</sup>  + C
+<math>= -\sqrt{(5 -4y + y^2)} + sin^{-1} + C</math>
-जहाँ C = C<sub>2</sub> = C<sub>1</sub>/2.
+जहाँ <math>C = C_2 = C_1/2</math>
 [[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]