नाभिलंब जीवा

गणित में, शंकु खंड को एक वक्र के रूप में दर्शाया जाता है जो हमें शंकु की सतह के प्रतिच्छेदन से प्राप्त होता है। शंकु खंड के विभिन्न प्रकार हैं। ये परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय हैं। इन वक्रों को दर्शाने के लिए, कई महत्वपूर्ण शब्दों का उपयोग किया जाता है जैसे कि फोकस, डायरेक्ट्रिक्स, लैटस रेक्टम, लोकस, एसिम्टोटे, आदि। इस लेख में, हम लैटस रेक्टम, लैटस रेक्टम परिभाषाएँ, लैटस रेक्टम उदाहरण और शंकु खंडों के लैटस रेक्टम के बारे में अध्ययन करेंगे।

शंकु खंड के लैटस रेक्टम को जीवा के रूप में बताया गया है जो फोकस से होकर गुजरती है और प्रमुख अक्ष के लंबवत होती है और इसमें वक्र पर दोनों अंत बिंदु शामिल होते हैं।

प्रत्येक शंकु खंड के लिए लैटस रेक्टम की लंबाई अलग-अलग निर्दिष्ट की जाती है:

एक वृत्त में लैटस रेक्टम की लंबाई हमेशा एक वृत्त में व्यास की लंबाई के बराबर होती है।

एक परवलय में लैटस रेक्टम की लंबाई फोकल लंबाई के चार गुना के बराबर होती है।

हाइपरबोला में लैटस रेक्टम की लंबाई अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई के वर्ग के दोगुने और संयुग्मी अक्ष की लंबाई के बराबर होती है।

परिभाषा

शंकु खंड में, लेटस रेक्टम फोकस के माध्यम से खींचा गया कॉर्ड है और डायरेक्ट्रिक्स के समानांतर है। लेटस शब्द लैटिन शब्द "लेटस" से लिया गया है जिसका अर्थ है पक्ष और "रेक्टम" शब्द का अर्थ है सीधा। लेटस रेक्टम का आधा हिस्सा सेमी-लेटस रेक्टम के रूप में जाना जाता है। नीचे दिया गया आरेख एक परवलय के लेटस रेक्टम को दर्शाता है।

परवलय के लैटस रेक्टम की लंबाई

आइए हम परवलय y2= 4ax के लेटस रेक्टम की लंबाई को L और L’ के रूप में लें। L और L’ के x निर्देशांक “a” के बराबर हैं क्योंकि S = (a, 0)

आइए हम मान लें L = (a, b)

जैसा कि हम जानते हैं, L परवलय का बिंदु है। तदनुसार, हमारे पास है

b2 = 4a (a) = 4a2

बाएं और दाएं दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर, हमें b बराबर ± 2a मिलता है

इसलिए, परवलय के लेटस रेक्टम के सिरे L = (a, 2a) और L’ (a, -2a) हैं

इस प्रकार, परवलय L L’’ के लेटस रेक्टम की लंबाई 4a है।

हाइपरबोला के लेटस रेक्टम की लंबाई

हाइपरबोला के लेटस रेक्टम को दीर्घवृत्त और परवलय के मामले में सममित रूप से परिभाषित किया जाता है।

परवलय के नाभि-रेक्टम के अंत को (ae, ± b2/ a2) कहा जाता है और नाभि-रेक्टम की लंबाई को 2b2/a कहा जाता है।

table

लेटस रेक्टम हल किए गए उदाहरण

1. लेटस रेक्टम की लंबाई क्या होगी जिसका परवलय समीकरण y2= 12x है

समाधान:

y2 = 2x

y2 = 4 (3) x

चूँकि y2 = 4ax परवलय का समीकरण है, इसलिए हमें a का मान प्राप्त होता है।

इसलिए, a=3 का मान

इस प्रकार, परवलय के लेटस रेक्टम की लंबाई 4a= 4(3) = 12 है।

2. निम्नलिखित परवलय x2 = - 4y के लेटस रेक्टम की लंबाई क्या होगी।

समाधान: ऊपर दिए गए समीकरण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि परवलय Y-अक्ष के बारे में सममित है और यह नीचे की ओर खुला है।

x2 = - 4y

x2 = - 4ay

4a = 4

इस प्रकार, दिए गए परवलय के लेटस रेक्टम की लंबाई 4 इकाई है।

3. निम्नलिखित परवलय x2- 2x + 8y + 17= 0 के लेटस रेक्टम की लंबाई की गणना करें।

समाधान: a का मान निकालने के लिए, हम पहले उपरोक्त समीकरण को मानक रूप में बदलेंगे।

x2 - 2x = - 8y -17= 0

x2 - 2x (1) + 12 -12= - 8y -17

(x - 1)2 = - 8y - 17 + 1

(x - 1)2 = - 8y - 16

(x - 1)2 = - 8 (y + 2)

इस समीकरण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दिया गया परवलय y-अक्ष के बारे में सममित है और यह ऊपर की ओर खुला है।

लेटस रेक्टम की लंबाई = 4a

4a = 8

इस प्रकार, दिए गए परवलय के लेटस रेक्टम की लंबाई 8 इकाई है।