अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमण

एक संख्या $x$ को अपरिमेय संख्या कहा जाता है , यदि हम इसे ${\frac {p}{q}}$ के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं , जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q\neq 0$ हैं ।

उदाहरण : ${\sqrt {2}}$ , ${\sqrt {3}}$ , ${\sqrt {7}}$ , $\pi$ , $0.10110111011110.....$ आदि अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं ।

इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि ${\sqrt {p}}$ अपरिमेय संख्या है , जहाँ $p$ एक अभाज्य संख्या है। हम अपने प्रमाण में अंकगणित की मौलिक प्रमेय का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें प्रेमय की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं ।

प्रेमय 1

कथन : माना कि $p$ एक अभाज्य संख्या है, यदि $p$ , $a^{2}$ को विभाजित करता है , तो $p$ $a$ को विभाजित करता है, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है ।

प्रमाण :

मान लीजिए कि $a$ का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है ,

$a=p_{1}p_{2}.......p_{n}$ जहाँ $p_{1},p_{2},.....p_{n}$ अभाज्य संख्याएँ है ।

इस प्रकार हम कह सकते हैं कि ,

$a^{2}=(p_{1}p_{2}.....p_{n})(p_{1}p_{2}....p_{n})$

$a^{2}=p_{1}^{2}p_{2}^{2}.....p_{n}^{2}$

कथन में हमें दिया गया है कि, $p$ $a$ को विभाजित करता है, इसलिए अंकगणित की मौलिक प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि $p$ , $a^{2}$ के अभाज्य गुणनखंडों में से एक है हालाँकि अंकगणित के मौलिक प्रमेय के विशिष्ट भाग का उपयोग करते हुए हम कह सकते हैं कि ; $a^{2}$ के अभाज्य गुणनखंड $p_{1},p_{2},p_{3},.......p_{n}$ है तो , $p$ का मान $p_{1},p_{2},p_{3},.......p_{n}$ इनमें से एक है ।

इस तरह , $a=p_{1}p_{2}.......p_{n}$ ;

अतः , $p$ $a$ को विभाजित करता है ।

उदाहरण 1

सिद्ध करें कि ${\sqrt {2}}$ एक अपरिमेय संख्या है ।

हल