द्वि-आधारी संक्रियाएँ

भूमिका

गणित में, द्वि-आधारी संक्रिया एक नियम है जो दो अवयवों (जिन्हें ऑपरेंड कहा जाता है) को जोड़कर एक अन्य अवयव उत्पन्न करता है। द्वि-आधारी संक्रिया कई गणितीय संरचनाओं, जैसे समूह, वलय(रिंग) और क्षेत्र(फ़ील्ड) के मूलभूत निर्माण खंड हैं। वे अभिकलित्र(कंप्यूटर) विज्ञान और भौतिकी सहित विभिन्न अनुप्रयोगों में भी आवश्यक हैं।

परिभाषा

समुच्चय $A$ पर एक द्वि-आधारी संक्रिया $A\times A$ से $A$ तक एक फलन(फ़ंक्शन) है। दूसरे शब्दों में, $A$ में किसी भी अवयव $a$ और $b$ के लिए, द्वि-आधारी संक्रिया $\star$ , $A$ में भी, आउटपुट $c=a\ \star \ b$ को परिभाषित करता है।

द्वि-आधारी संक्रियाओं के उदाहरण

गणित में द्विआधारी संक्रियाओं के अनेक उदाहरण हैं:

1. जोड़: जोड़ संक्रिया $(+)$ दो संख्याओं को जोड़कर उनका योग बनाती है।
2. गुणन: गुणन संक्रिया $(\times )$ दो संख्याओं को जोड़कर उनका गुणनफल बनाती है।
3. घटाव: घटाव संक्रिया $(-)$ दो संख्याओं को जोड़कर उनका अंतर उत्पन्न करती है।
4. विभाजन: विभाजन संक्रिया $(\div )$ दो संख्याओं को जोड़कर उनका भागफल उत्पन्न करती है।
5. घातांक: घातांक संक्रिया (^) दो संख्याओं को जोड़कर पहली संख्या से दूसरी संख्या की घात उत्पन्न करती है।

द्वि-आधारी संक्रियाओं के गुण

द्वि-आधारी संक्रिया में विभिन्न गुण हो सकते हैं, जो विशिष्ट संक्रिया और उस समुच्चय पर निर्भर करता है जिस पर इसे परिभाषित किया गया है। कुछ सामान्य गुणों में सम्मिलित इस प्रकार हैं:

1. क्रमविनिमेयता : यदि $a\ \star \ b=b\ \star \ a$ सभी के लिए $A$ में $a$ और $b$ है, तो संक्रिया का क्रमविनिमेय है।
2. साहचर्यता : यदि $(a\ \star \ b)\ \star c=a\ \star (b\ \star c)$ सभी के लिए $A$ में $a$ , $b$. और $c$ है, तो संक्रिया का साहचर्य है।
3. तत्समक अवयव : यदि $A$ में कोई अवयव $e$ उपस्थित है जैसे कि $A$ में सभी $a$ के लिए $a\ \star \ e=e\ \star \ a=a$, तो $e$ संक्रिया का तत्समक अवयव है।
4. प्रतिलोम अवयव : यदि $A$ में प्रत्येक अवयव $a$ के लिए, एक अवयव $A$ में $b$ इस प्रकार उपस्थित है कि $a\ \star \ b=b\ \star \ a=e$ , जहां $e$ तत्समक अवयव है तो $b$, $a$ का व्युत्क्रम अवयव है।