समुच्चयों का कार्टेशियन गुणन

यहां हम सीखेंगे कि दो समुच्चयों के अवयवों के युग्म को कैसे श्रृंखलित किया जाए और फिर शृंखला में दो अवयवों के बीच संबंध कैसे प्रस्तुत किया जाए।

समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन की परिभाषा

दो अरिक्त समुच्चय A और B दिए गए हैं, सभी क्रमित युग्म $(x,y)$ का समुच्चय, जहां $x\in A$और $y\in B$ को $A$ और $B$ का कार्टेशियन गुणन कहा जाता है। प्रतीकात्मक रूप से हम लिखते हैं

$AXB=\{(x,y):x\in A,y\in B\}$

यदि $A=\{1,2,3\}$ और $B=\{4,5\}$, तब

$AXB=\{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)\}$

$BXA=\{(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)\}$

समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन

दो अरिक्त समुच्चय $P$ और $Q$ दिए गए हैं। कार्टेशियन गुणन $PXQ$, $P$ और $Q$ से अवयवों के सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय है, अर्थात,

$PXQ=\{(p,q):p\in P,q\in Q\}$

यदि $P$ या $Q$ शून्य समुच्चय है, तो $PXQ$ भी एक रिक्त समुच्चय होगा, अर्थात्, $PXQ=\emptyset$

कार्टेशियन गुणन का गणनांक क्या है?

समुच्चय $A$ और $B$ के कार्टेशियन गुणन का गणनांक $AXB$ में क्रमित युग्मों की कुल संख्या होगी

मान लीजिए $p$, $A$ के अवयवों की संख्या है और $q$, $B$ में अवयवों की संख्या है।

तो, $A$ और $B$ के कार्टेशियन गुणन में अवयवों की संख्या $pq$ है

अर्थात यदि $n(A)=p,n(B)=q$ तब $n(AXB)=pq$

समुच्चय गुणधर्म का कार्टेशियन गुणन

(i) Two ordered pairs are equal, if and only if the corresponding first elements are equal and the second elements are also equal,

i.e. $(x,y)=(u,v)$ if and only if $x=u,y=v$.

(ii) if $n(A)=p,n(B)=q$ then $n(AXB)=pq$

(iii) $A\ X\ A\ X\ A=\{(a,b,c):a,b,c\in A\}$. Here$(a,b,c)$ is called an ordered triplet.

Example:

Find the Cartesian product of three sets A = {a, b}, B = {1, 2} and C = {x, y}.

$A=\{a,b\},B=\{1,2\}$ and $C=\{x,y\}$

Solution:

The ordered pairs of$A\ X\ B\ X\ C$ can be formed as given below:

1st pair ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒ $(a,1,x)$

2nd pair ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒ (a, 1, y)

3rd pair ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒ (a, 2, x)

4th pair ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒ (a, 2, y)

5th pair ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒ (b, 1, x)

6th pair ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒ (b, 1, y)

7th pair ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒ (b, 2, x)

8th pair ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒ (b, 2, y)

Thus, the ordered pairs of $A\ X\ B\ X\ C$ can be written as:

$A\ X\ B\ X\ C=\{(a,1,x),(a,1,y),(a,2,x),(a,2,y),(b,1,x),(b,1,y),(b,2,x),(b,2,y)\}$