सम्मिलन(समुच्चय)

समुच्चयों का सम्मिलन

मान लेते हैं कि $A$ और $B$ कोई दो समुच्चय हैं। $A$ और $B$ का सम्मिलन वह समुच्चय है जिसमें $A$ के सभी अवयवों के साथ $B$ के भी सभी अवयव हों, तथा उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार लिया गया हो। प्रतीक '$\cup$' का प्रयोग सम्मिलन को निरूपित करने के लिए किया जाता है। प्रतीकात्मक रूप में हम $A\cup B$ लिखते हैं और इसे '$A$ सम्मिलन $B$' पढ़ते हैं।

उदाहरण 1: मान लीजिए कि$A=\{2,4,6,8\}$और $B=\{6,8,10,12\}$। $A\cup B$ ज्ञात कीजिए।

हल: हम देखते हैं कि $A\cup B=\{2,4,6,8,10,12\}$

ध्यान दें कि $A\cup B$ लिखते समय उभयनिष्ठ अवयव $6$ और $8$ को मात्र एक बार लिखते हैं।

परिभाषा:

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चित्र-

दो समुच्चयों $A$ और $B$ का सम्मिलन समुच्चय, वह समुच्चय है जिसमें वे सभी अवयव हैं, जो या तो $A$ में हैं या $B$ में हैं (उन अवयवों को सम्मिलित हुए जो दोनों में हैं)। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि $A\cup B=\{x:x\in A$ या $x\in B\}$ है।

दो समुच्चयों के सम्मिलन को चित्र में दिखाए गए वेन आरेख से प्रदर्शित किया जा सकता है।

चित्र में छायांकित भाग $A\cup B$ को प्रदर्शित करता है।

सम्मिलन की संक्रिया के कुछ गुणधर्मः

(i) $A\cup B=B\cup A$ (क्रम विनिमय नियम )

(ii) $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ (साहचर्य नियम)

(iii)$A\cup \phi =A$ (तत्समक नियम, $\phi$ संक्रिया का तत्समक अवयव है )

(iv) $A\cup A=A$ ( वर्गसम नियम)

(v) $U\cup A=U$ ($U$ का नियम)

उदाहरण 2: मान लीजिए कि $A=\{a,e,i,o,u\}$और $B=\{a,i,u\}$

$A\cup B=A$ ।

हल: स्पष्टतया $A\cup B=\{a,e,i,o,u\}=A$ ।

इस उदाहरण से स्पष्ट होता है कि किसी समुच्चय $A$ और उसके उपसमुच्चय $B$ का सम्मिलन समुच्चय $A$ स्वयं होता है, अर्थात् यदि $B\subset A$, तो $A\cup B=A$।