सर्वनिष्ट(समुच्चय)

समुच्चयों का सर्वनिष्ठ

समुच्चय $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ है। प्रतीक ' $\cap$ ' का प्रयोग सर्वनिष्ठ को निरूपित करने के लिए किया जाता है। समुच्चय $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो $A$ और $B$ दोनों में हों। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि $A\cap B=\{x:x\in A$ और $x\in B\}$

उदाहरण

मान लीजिए कि $A=\{2,4,6,8\}$ और $B=\{6,8,10,12\}$ । $A\cup B$ ज्ञात कीजिए।

हम देखते हैं कि $A\cup B=\{2,4,6,8,10,12\}$

उदाहरण 1: उपर्युक्त उदाहरण के समुच्चय $A$ और $B$ पर विचार करते हुए | $A\cap B$ ज्ञात कीजिए।

हल: हम देखते हैं कि केवल $6$ और $8$ ही ऐसे अवयव हैं जो $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ हैं। अतः $A\cap B=\{6,8\}$

उदाहरण 2: मान लीजिए कि $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ और $B=\{2,3,5,7\}$ $A\cap B$ ज्ञात कीजिए और इस प्रकार दिखाइए कि $A\cap B=B$ ।

हल: हल हम देखते हैं कि $A\cap B=\{2,3,5,7\}=B$ हम ध्यान देते हैं कि $B\subset A$ और $A\cap B=B$

परिभाषा

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समुच्चयों का सर्वनिष्ठ

समुच्चय $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो $A$ और $B$ दोनों में हो। प्रतीकात्मक रूप में, हम लिखते हैं कि $A\cap B=\{x:x\in A$ और $x\in B\}$

चित्र में छायांकित भाग, $A$ और $B$ के सर्वनिष्ठ को प्रदर्शित करता है।

यदि $A$ और $B$ ऐसे दो समुच्चय हों कि $A\cap B=\phi$ , तो $A$ और $B$ असंयुक्त समुच्चय कहलाते हैं। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि $A=\{2,4,6,8\}$ और $B=\{1,3,5,7\}$ , तो $A$ और $B$ असंयुक्त समुच्चय हैं, क्योंकि $A$ और $B$ में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। असंयुक्त समुच्चयों को वेन आरेख द्वारा निरूपित किया जा सकता है, जैसा चित्र में प्रदर्शित है। उपर्युक्त आरेख में $A$ और $B$ असंयुक्त समुच्चय हैं।