लीलावती में 'वर्ग'

भूमिका

यहां हम जानेंगे कि, लीलावती में वर्णित किसी संख्या का वर्ग कैसे निकाला जाता है।

श्लोक सं. 19 :

समद्विघातः कृतिरुच्यतेऽथ

स्थाप्योऽन्त्यवर्गो द्विगुणान्त्यनिघ्नाः ।

स्वस्वोपरिष्टाच्च तथाऽपरेऽङ्काः

त्यक्त्वान्त्युमत्सार्य पुनश्च राशिम् ॥ 19 ॥

अनुवाद :

किसी संख्या का स्वयं के साथ गुणनफल, उसका वर्ग कहलाता है। किसी संख्या का वर्ग निकालने के लिए निम्नलिखित प्रक्रिया का प्रयोग कर सकते हैं : सबसे पहले, उसके शीर्ष पर सबसे बाएँ हाथ के अंक का वर्ग लिखें। फिर अगले [यानी, दूसरे] अंक को पहले अंक के दोगुने से गुणा करें और परिणाम को शीर्ष पर लिखें। इसके बाद, तीसरे अंक को पहले अंक के दोगुने से गुणा करें और परिणाम को शीर्ष पर लिखें। इस प्रकार इकाई के स्थान पर पहुंचें। इसके बाद, पहले अंक को पार करें और इस प्रकार बनी संख्या को एक स्थान दाईं ओर स्थानांतरित करें। फिर यही प्रक्रिया दोहराएं। अंत में, शीर्ष पर लिखे सभी गुणनफलों को जोड़ें और यह योग आवश्यक वर्ग होगा।

उदाहरण: 297 का वर्ग

	8	8	2	0	9	प्रक्रिया: पंक्ति A में 297 लिखें। हम बाईं ओर से प्रारंभ करते हैं। 2 = 4 का वर्ग 2 के ऊपर लिखिए। 2 का 2 गुना 4 है। दूसरे अंक (9) को 4 = 36 से गुणा करें। इस संख्या (36) को 4 से ऊपर 6 के साथ 9 से ऊपर लिखें। फिर तीसरे अंक (7) को 4 = 28 से गुणा करें। इस संख्या (28) को 36 से ऊपर 8 के साथ लिखें। . 297 को दाईं ओर स्थानांतरित करें और पंक्ति X की तरह 2 को काट दें। अब संख्या 97 है उपरोक्त प्रक्रिया को दोहराया जाता है। 9 = 81 का एक वर्ग 9 के ऊपर 1 के साथ पंक्ति B के ऊपर लिखा गया है। 9 का दो गुना 18 है। अंतिम अंक (7) को 18 = 126 से गुणा करें। इस संख्या (126) को 81 से ऊपर 6 के साथ 7 से ऊपर लिखें। फिर से 297 को दाईं ओर स्थानांतरित करें और 2 और 9 को पंक्ति Y की तरह काट दें। 7 = 49 का एक वर्ग रेखा C के ऊपर 9 के ऊपर 7 के साथ लिखा गया है। अंत में दाईं ओर से स्तंभानुसार, A के ऊपर सभी मान जोड़ें ।
D				4	9
C		1	2	6
		8	1
B		2	8
	3	6
	4
A	2	9	7
X		2	9	7
Y			2	9	7

उत्तर: 297 का वर्ग = 88209

उदाहरण: 425 का वर्ग

	18	0	6	2	5	प्रक्रिया: पंक्ति A में 425 लिखें। हम बाईं ओर से प्रारंभ करते हैं। 4 का वर्ग = 16 4 के ऊपर लिखो। 4 का दो गुना 8 है। दूसरे अंक (2) को 8 = 16 से गुणा करें। इस संख्या (16) को 16 से ऊपर 6 के साथ 2 से ऊपर लिखें। फिर तीसरे अंक (5) को 8 = 40 से गुणा करें। इस संख्या (40) को 16 से ऊपर 0 के साथ 5 से ऊपर लिखें . 425 को दाईं ओर स्थानांतरित करें और पंक्ति X की तरह 4 को काट दें। अब संख्या 25 है उपरोक्त प्रक्रिया को दोहराया जाता है। 2 = 4 का वर्ग रेखा B के ऊपर 4 के ऊपर 2 के साथ लिखा गया है। 2 का दो बार 4 है। अंतिम अंक (5) को 4 = 20 से गुणा करें। इस संख्या (20) को 4 से ऊपर 0 के साथ 5 से ऊपर लिखें। फिर से 425 को दाईं ओर स्थानांतरित करें और 4 और 2 को काट दें जैसा कि पंक्ति Y में है। 5 = 25 का एक वर्ग C के ऊपर 5 के ऊपर 5 के साथ लिखा गया है। अंत में दाईं ओर से स्तंभानुसार, A के ऊपर सभी मान जोड़ें ।
D				2	5
C			2	0
			4
B		4	0
	1	6
	16
A	4	2	5
X		4	2	5
Y			4	2	5

उत्तर: 425 का वर्ग = 180625

उदाहरण: 12345 का वर्ग

	1	5	2	3	9	9	0	2	5
F								2	5
E							4	0
						1	6
D						3	0
					2	4
					9
C					2	0
				1	6
			1	2
			4
B				1	0
				8
			6
		4
	1
A	1	2	3	4	5
P		1	2	3	4	5
Q			1	2	3	4	5
R				1	2	3	4	5
S					1	2	3	4	5

उत्तर: 12345 का वर्ग = 152399025

यह भी देखें

Squares in Līlāvatī