सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोग

आव्यूह और सारणिक तत्वों की एक सरणी से जुड़े विभिन्न अंकगणितीय संचालन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। आव्यूह तत्वों की एक आयताकार सरणी है जिसे पंक्तियों और स्तंभों के रूप में दर्शाया जाता है। और निर्धारकों की गणना एक आव्यूह के लिए की जाती है और यह एक एकल संख्यात्मक मान है जिसे तत्वों की इस सरणी से गणना की गई है। आव्यूह को बड़े अक्षरों में एक वर्णमाला के साथ दर्शाया जाता है और इसे A के रूप में लिखा जाता है, और सारणिकको |A| के रूप में दर्शाया जाता है।

आव्यूह और निर्धारकों के गुणों में अंतर होता है। एक स्थिरांक K का आव्यूह के साथ गुणन आव्यूह के प्रत्येक तत्व को गुणा करता है, और एक स्थिरांक K का सारणिकके साथ गुणन किसी विशेष पंक्ति या स्तंभ के तत्वों के साथ गुणा करता है। आइए उदाहरणों, अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों की मदद से आव्यूह और निर्धारकों के गुणों और उनके बीच अंतर के बारे में अधिक जानें।

आव्यूह और सारणिक क्या हैं?

आव्यूह और सारणिक तत्वों की एक सरणी का प्रतिनिधित्व करते हैं, और हम पूरे सारणिकके लिए एक एकल तत्व मान की गणना करते हैं। आव्यूह आव्यूह का बहुवचन रूप है, जो एक आयताकार सरणी या एक तालिका है जहाँ संख्याएँ या तत्व कई पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित होते हैं। आव्यूह को जोड़ा या घटाया जा सकता है यदि उनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान हो जबकि उन्हें गुणा किया जा सकता है यदि केवल पहले कॉलम और दूसरे कॉलम की पंक्तियाँ बिल्कुल समान हों।

आव्यूह और निर्धारकों का गणित में घनिष्ठ संबंध है। आव्यूह तत्वों की एक सरणी है जिसे $M$ द्वारा दर्शाया जाता है, और सारणिकइस आव्यूह का प्रतिनिधित्व करने वाला एकल संख्यात्मक मान है और इसे $|M|$ के रूप में दर्शाया जाता है। आइए आव्यूह और सारणिककी परिभाषा देखें।

आव्यूह की परिभाषा

आव्यूह तत्वों की एक सरणी है जिसे पंक्तियों और स्तंभों के रूप में दर्शाया जाता है। निर्धारकों को आव्यूह के अदिश कारक माना जाता है। आव्यूह को आम तौर पर बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है। आव्यूह का क्रम आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या द्वारा दर्शाया जाता है। क्रम $m\times n$ के आव्यूह में $m$ पंक्तियाँ और $n$ स्तंभ होते हैं।

सारणिक की परिभाषा

प्रत्येक वर्ग आव्यूह के लिए, C = [cij] क्रम n×n के लिए, सारणिकको एक स्केलर मान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो वास्तविक या एक जटिल संख्या है, जहाँ

cij

आव्यूह C का (i,j)वाँ तत्व है। सारणिकको det(C) या |C| के रूप में दर्शाया जा सकता है, यहाँ सारणिकको संख्याओं के ग्रिड को लेकर और उन्हें वर्ग कोष्ठक का उपयोग करने के बजाय निरपेक्ष-मान बार के अंदर व्यवस्थित करके लिखा जाता है।

आव्यूह C = पर विचार करें

तब, इसका सारणिकइस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

fromGG

आव्यूह पंक्तियों और स्तंभों में संख्याओं की एक द्वि-आयामी व्यवस्था है जो वर्गाकार कोष्ठकों की एक जोड़ी द्वारा संलग्न होती है या कह सकते हैं कि आव्यूह कुछ और नहीं बल्कि संख्याओं, अभिव्यक्तियों और प्रतीकों की आयताकार व्यवस्था है जो स्तंभों और पंक्तियों में व्यवस्थित होती हैं। आव्यूह और निर्धारकों के अनुप्रयोग मुख्य रूप से विज्ञान और इंजीनियरिंग के क्षेत्रों में हैं।

आव्यूह का प्रतिनिधित्व: किसी भी m × n आव्यूह को इस प्रकार दर्शाया जाता है, A =

इसे A के रूप में भी दर्शाया जा सकता है

गणित में निर्धारकों को आव्यूह के स्केलिंग कारक के रूप में पहचाना जाता है। उन्हें आव्यूह के विस्तार और सिकुड़ने के कार्यों के रूप में देखा जा सकता है। सारणिकइनपुट के रूप में एक वर्ग आव्यूह का उपयोग करते हैं और परिणाम के रूप में एक एकल संख्या प्रदान करते हैं। सभी वर्ग आव्यूह के लिए, X=[xij]

क्रम n×n के, एक सारणिकको एक स्केलर मान के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है जो एक वास्तविक या एक जटिल संख्या हो सकती है, जहाँ xij

आव्यूह X का (i,j)वाँ तत्व है। सारणिकको det(X) या |X| संकेतन द्वारा दर्शाया जाता है।

आव्यूह और निर्धारकों का उदाहरण: एक आव्यूह पर विचार करें:

फिर, इसका सारणिकइस प्रकार दर्शाया जाता है:

आव्यूह और सारणिकों के अनुप्रयोग

वैज्ञानिक क्षेत्र में आव्यूह और सारणिकों के कई अनुप्रयोग हैं और ये व्यावहारिक वास्तविक जीवन की समस्या पर लागू होते हैं। इनका उपयोग मुख्य रूप से विज्ञान और इंजीनियरिंग के क्षेत्र में किया जाता है।

1. आव्यूह और सारणिकों के अनुप्रयोग इस प्रकार हैं:
2. रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना
3. एक प्रणाली की संगति
4. रैखिक समीकरणों को हल करना
5. एक रेखा का सामान्य समीकरण
6. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
7. त्रिभुज का क्षेत्रफल
8. एक समांतर चतुर्भुज का आयतन

आव्यूह और सारणिकों पर उदाहरण

उदाहरण 1: दो आव्यूह का गुणन ज्ञात करें, और परिणामी आव्यूह का सारणिकज्ञात करें।

(1024) और (6843)

समाधान:

दिए गए आव्यूह 2×2 क्रम के हैं। ∵वे आव्यूह गुणन के लिए संगत हैं, हम आव्यूह का गुणन ज्ञात कर सकते हैं और उनका गुणनफल आव्यूह भी 2×2 क्रम का होगा।

मैट्रिसेस का गुणनफल

सारणिकमान |A| = 6 x 28 - 8 x 28 = -2 x 28 = -56 है

उत्तर: इसलिए दोनों आव्यूहों का गुणनफल A =

(682828) है और उनका सारणिकमान |A| = -56 है।

1. Example 2: Find the determinant of the matrix A where A=⎡⎢⎣132−3−1−3231⎤⎥⎦. Solution: |C| = 1⋅∣∣∣−1−331∣∣∣−3⋅∣∣∣−3−321∣∣∣+2⋅∣∣∣−3−123∣∣∣ Using the determinants rule, =|C| = 1. (-1 -(-9) - 3. (-3 -(-6) + 2.(-9 -(-2)) = 1. (-1 +9) - 3. (-3 +6) + 2 .(-9 +2) = 8 - 9 -14 =|C| = -15 Answer: The determinant of the given matrix is -15.