उच्चतम और निम्नतम

उच्चतम और निम्नतम को फलन के चरम के रूप में जाना जाता है। उच्चतम और निम्नतम किसी फलन के दिए गए परिसर के समुच्चय के भीतर अधिकतम या न्यूनतम मान हैं। फलन के लिए, सम्पूर्ण परिसर के अंतर्गत, फलन के अधिकतम मान को निरपेक्ष उच्चतम के रूप में जाना जाता है और न्यूनतम मान को निरपेक्ष निम्नतम के रूप में जाना जाता है।

फलन के अन्य उच्चतम और निम्नतम होते हैं, जो फलन के निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम नहीं होते हैं और उन्हें स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम के रूप में जाना जाता है। आइए स्थानीय उच्चतम और निम्नतम , निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम के बारे में और जानें और फलन के उच्चतम और निम्नतम को ज्ञात करने की विधि को भी जानने का प्रयास करें ।

परिभाषा

उच्चतम और निम्नतम

उच्चतम और निम्नतम किसी फलन के वक्र में चोटियाँ और घाटियाँ हैं। किसी फलन के लिए उच्चतम और निम्नतम की कोई भी संख्या हो सकती है। कलन में, हम फलन के आलेख को देखे बिना भी किसी फलन का अधिकतम और न्यूनतम मान पा सकते हैं। उच्चतम दी गई सीमा के भीतर वक्र पर सबसे ऊँचा बिंदु होगा और निम्नतम वक्र पर सबसे निचला बिंदु होगा।

उच्चतम और निम्नतम का संयोजन चरम है। नीचे दी गई छवि में, हम आलेख में विभिन्न चोटियाँ और घाटियाँ देख सकते हैं। $x=a$ और $x=0$ पर, हमें फलन के अधिकतम मान मिलते हैं, और $x=b$ और $x=c$ पर, हमें फलन के न्यूनतम मान मिलते हैं। सभी चोटियाँ उच्चतम हैं और घाटियाँ निम्नतम हैं।

किसी फलन में दो प्रकार के उच्चतम और निम्नतम उपस्थित होते हैं, जो हैं:

• स्थानीय उच्चतम और निम्नतम
• निरपेक्ष या सार्वत्रिक उच्चतम और निम्नतम

आइए इनके बारे में विस्तार से जानें।

स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम

स्थानीय उच्चतम और निम्नतम

स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम फलन के अधिकतम और न्यूनतम हैं, जो किसी विशेष अंतराल में उत्पन्न होते हैं। स्थानीय अधिकतम एक विशेष अंतराल में एक बिंदु पर फलन का मान होगा जिसके लिए उस बिंदु के पास फलन के मान सड़ाईव उस बिंदु पर फलन के मान से कम होते हैं। जबकि स्थानीय न्यूनतम उस बिंदु पर फलन का मान होगा जहाँ उस बिंदु के पास फलन के मान उस बिंदु पर फलन के मान से अधिक होते हैं।

स्थानीय अधिकतम: एक बिंदु $x=b$, $f(x)$ के लिए स्थानीय अधिकतम का एक बिंदु है यदि $b$ के प्रतिवेश में है यानी $(b-\delta ,b+\delta )$ में जहाँ $\delta$ को मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है, $f(x)<f(b)$ सभी $x\in {(b-\delta ,b+\delta )}/\{b\}$ के लिए। इसका सीधा सा अर्थ है कि अगर हम $x=b$ के आस-पास एक छोटा क्षेत्र (अंतराल) मानते हैं, तो $f(b)$ उस अंतराल में अधिकतम होना चाहिए।

स्थानीय न्यूनतम: एक बिंदु $x=a$, $f(x)$ के लिए स्थानीय न्यूनतम का एक बिंदु है यदि $a$ के प्रतिवेश में है, यानी $(a-\delta ,a+\delta )$ में, (जहाँ $\delta$ के मनमाने ढंग से छोटे मान हो सकते हैं),$f(x)>f(a)$ सभी $x\in {(a-\delta ,a+\delta )}/\{a\}$ के लिए। इसका अर्थ यह है कि यदि हम $x=a$ के आस-पास एक छोटा अंतराल लें, तो $f(a)$ उस अंतराल में न्यूनतम होना चाहिए।

नीचे दी गई छवि में, हम देख सकते हैं कि $x=b$ और $x=d$, स्थानीय उच्चतम हैं, और $x=a$ और $x=c$, स्थानीय निम्नतम हैं।

निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम

सम्पूर्णउच्चतम और निम्नतम

सम्पूर्ण प्रांत के भीतर किसी फलन का उच्चतम बिंदु फलन का निरपेक्ष उच्चतम कहलाता है, जबकि फलन के सम्पूर्ण प्रांत के भीतर फलन का निम्नतम बिंदु फलन का निरपेक्ष निम्नतम कहलाता है। सम्पूर्ण प्रांत पर फलन का केवल एक निरपेक्ष उच्चतम और फलन का एक निरपेक्ष निम्नतम हो सकता है। फलन के निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम को फलन का सार्वत्रिक उच्चतम और सार्वत्रिक निम्नतम भी कहा जा सकता है।

निरपेक्ष उच्चतम : एक बिंदु $x=af(x)$ के लिए सार्वत्रिक उच्चतम का बिंदु है यदि सभी $x\in D,(f(x)$ का प्रांत $)$ के लिए $f(x)\leq f(a)$है।

निरपेक्ष निम्नतम: एक बिंदु $x=af(x)$ के लिए सार्वत्रिक निम्नतम का बिंदु है यदि सभी $x\in D,(f(x)$का प्रांत $)$ के लिए $f(x$