लीलावती में 'पाँच का नियम'

श्लोक सं.97

प्रमाणकालेन हतं प्रमाणं विमिश्रकालेन हतं फलं च ।

स्वयोगभक्ते च पृथक् स्थिते च मिश्राहते मूल कलान्तरे स्तः ॥९७॥

साधारण ब्याज और मूलधन की गणना करने के लिए मानक मूलधन (100) को मानक अवधि (1 माह या 1 वर्ष) से गुणा करें। इसके बाद, दी गई अवधि को दी गई ब्याज दर से गुणा करें। दोनो गुणनफलों a, और b को अलग रखें। मूलधन प्राप्त करने के लिए a को राशि से गुणा करें और इसे (a+b) से विभाजित करें। इसी प्रकार, राशि को b से गुणा करने पर (a+b) से विभाजित करने पर ब्याज प्राप्त होता है।

टिप्पणी: A = राशि, P = मूलधन, I = ब्याज, R = ब्याज की दर, Y = अवधि। P₀ = मानक मूलधन (आमतौर पर 100)

Y₀ = मानक अवधि (1 वर्ष या 1 माह)।

$P={\frac {A\ X\ P_{0}\ X\ Y_{0}}{P_{0}Y_{0}+RY}}$

$I={\frac {A\ X\ R\ X\ Y}{P_{0}Y_{0}+RY}}$

उदाहरण

पंचकेन शतेनाब्दे मूलं स्वं सकलान्तरम् ।

सहस्त्रं चेत्पृथक् तत्र वद मूल कलान्तरे ॥ ॥

जब ब्याज दर 5% प्रति माह है, तो एक वर्ष के बाद राशि 1000 एन (निष्कास) है। मूलधन और ब्याज ज्ञात करें।

टिप्पणी: उपरोक्त श्लोक में 'प्रति माह' का उल्लेख नहीं है लेकिन ऐसा लगता है कि उस समय ब्याज की गणना मासिक आधार पर की जाती थी।

यहां A = 1000, R = 5, P₀ = 100, Y₀ = 1 महीना Y = 1 वर्ष (12 महीने)

$P={\frac {1000\ X\ 100\ X\ 1}{100\ X\ 1+5\ X\ 12}}=625$ N

$I={\frac {1000\ X\ 5\ X\ 12}{100\ X\ 1+5\ X\ 12}}=375$ N

वैकल्पिक रूप से I = A - P = 1000 - 625 = 375 N

श्लोक सं.99

अथ प्रमाणैर्गुणिताः स्वकाला व्यतीतकालघ्नफलोद्धृतास्ते ।

स्वयोगभक्ताश्च विमिश्रनिघ्नाः प्रयुक्तखण्डानि पृथक् भवन्ति ॥९९॥

यदि किसी निश्चित मूलधन के कई भागों पर अलग-अलग अवधियों के लिए अलग-अलग ब्याज दरें होती हैं और फिर भी समान ब्याज मिलता है, तो इन भागों को खोजने के लिए - मानक मूलधन और मानक अवधि का गुणनफल लें, इस गुणनफल को संबंधित अवधियों के गुणनफल से विभाजित करें, और ब्याज दरें, और इन भागफलों को अलग से लिखें। इन भागफलों को दिए गए मूलधन से गुणा किया जाता है और अलग से लिखे गए भागफलों के योग से विभाजित किया जाता है, ये दिए गए मूलधन के वांछित भाग होते हैं।

टिप्पणी: भागों को दर्शाने के लिए प्रत्ययों के साथ पिछले उदाहरण के अंकन का उपयोग करना (हम तीन भागों पर विचार करते हैं):

$P_{1}={\frac {(P_{1}+P_{2}+P_{3})\ X\ {\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}}{{\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}+{\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}+{\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}}$ $P_{2}={\frac {(P_{1}+P_{2}+P_{3})\ X\ {\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}}{{\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}+{\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}+{\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}}$ $P_{3}={\frac {(P_{1}+P_{2}+P_{3})\ X\ {\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}{{\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}+{\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}+{\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}}$

उदाहरण

यत्पंचकत्रिकचतुष्कशतेन दत्तं

खंडैस्त्रिभिर्गणक निष्कशतं षडूनम् ।

मासेषु सप्तदशपंचसु तुल्यमाप्तम्

खंडत्रयेऽपि हि फलं वद खंडसंख्याम् ॥ ॥

94 N(निष्क) को तीन भागों में विभाजित किया गया था और 7 महीने के लिए 5 प्रतिशत (प्रति माह), 10 महीने के लिए 3 प्रतिशत और 5 महीने के लिए 4 प्रतिशत पर उधार दिया गया था। यदि तीनों भागों पर समान ब्याज मिलता है, तो उन्हें ज्ञात कीजिए।

टिप्पणी: यहाँ P1 + P2+ P3 = 94

R1 = 5 Y1 = 7

R2 = 3 Y2 = 10

R3 = 4 Y3 = 5

उपरोक्त सूत्र के अनुसार

$P_{1}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{5X7}}}{{\frac {100}{5X7}}+{\frac {100}{3X10}}+{\frac {100}{4X5}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{35}}}{{\frac {100}{35}}+{\frac {100}{30}}+{\frac {100}{20}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{35}}}{\frac {4700}{420}}}=24$

$P_{2}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{3X10}}}{{\frac {100}{5X7}}+{\frac {100}{3X10}}+{\frac {100}{4X5}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{30}}}{{\frac {100}{35}}+{\frac {100}{30}}+{\frac {100}{20}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{30}}}{\frac {4700}{420}}}=28$

$P_3=\frac{94X\frac{100}{4X5}}{\frac{100}{5X}}$