वज्र-गुणनखंड विधि

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की वज्र-गुणनखंड विधि सबसे आसान तरीकों में से एक है । आइए इस इकाई में हम वज्र-गुणनखंड विधि को विस्तार पूर्वक समझते है ।

वज्र-गुणन विधि की व्युत्पत्ति

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता है ,

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ $...........(1)$

$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ $...........(2)$

जहां $a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}$ वास्तविक संख्याएं हैं ।

समीकरण $(1)$ को $b_{2}$ से और समीकरण $(2)$ को $b_{1}$ से गुणा करने पर ,

$b_{2}a_{1}x+b_{2}b_{1}y+b_{2}c_{1}=0$ $...........(3)$

$b_{1}a_{2}x+b_{1}b_{2}y+b_{1}c_{2}=0$ $...........(4)$

समीकरण $(4)$ को $(3)$ से घटाने पर ,

$(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})x+(b_{2}b_{1}-b_{1}b_{2})y+b_{2}c_{1}-b_{1}c_{2}=0$

$(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})x+b_{2}c_{1}-b_{1}c_{2}=0$

$(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})x=b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}$

$x={\frac {b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2}}}$

$x$ के प्राप्त मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर ,

$y={\frac {c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}}{b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2}}}$

अतः , समीकरणों का हल इस प्रकार दिया जाएगा ,

${\frac {x}{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}}={\frac {y}{c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}}}={\frac {1}{b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2}}}$

इसलिए , हम वज्र गुणन विधि का उपयोग करके दो चर में रैखिक समीकरण युग्म का हल आसानी से प्राप्त सकते हैं ।