वज्र-गुणनखंड विधि

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की वज्र-गुणनखंड विधि सबसे आसान तरीकों में से एक है ।वज्र-गुणनखंड विधि दो चरों में रैखिक समीकरणों का त्वरित विधि है। इस विधि में , एक भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा किया जाता है और पहले पद के हर को दूसरे पद के अंश से गुणा किया जाता है। आइए इस इकाई में हम वज्र-गुणनखंड विधि को विस्तार पूर्वक समझते है ।

वज्र-गुणन विधि की व्युत्पत्ति

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता है ,

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ $...........(1)$

$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ $...........(2)$

जहां $a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}$ वास्तविक संख्याएं हैं ।

समीकरण $(1)$ को $b_{2}$ से और समीकरण $(2)$ को $b_{1}$ से गुणा करने पर ,

$b_{2}a_{1}x+b_{2}b_{1}y+b_{2}c_{1}=0$ $...........(3)$

$b_{1}a_{2}x+b_{1}b_{2}y+b_{1}c_{2}=0$ $...........(4)$

समीकरण $(4)$ को $(3)$ से घटाने पर ,

$(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})x+(b_{2}b_{1}-b_{1}b_{2})y+b_{2}c_{1}-b_{1}c_{2}=0$

$(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})x+b_{2}c_{1}-b_{1}c_{2}=0$

$(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})x=b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}$

$x={\frac {b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2}}}$

$x$ के प्राप्त मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर ,

$y={\frac {c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}}{b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2}}}$

अतः , समीकरणों का हल इस प्रकार दिया जाएगा ,

$\frac{x}{b_1{c}_2-<!--\; -\; -->b_2{c}_1}=\frac{y}{c_1{a}_2-<!--\; -\; -->c_2{a}_1}=\frac{1}{b_2{a}_1-<!--\; -\; -->{}_{}}$