सारणिकों के गुणधर्म

न्यूनतम गणना के साथ सारणिकों का मान ज्ञात करने के लिए सारणिकों के गुणों की आवश्यकता होती है। सारणिकों के गुण अवयवों, पंक्ति और स्तंभ संचालन पर आधारित होते हैं, और यह सारणिक का मान अति सुलभ विधि से ज्ञात करने में सहायता करता है।

सारणिकों के गुणधर्म

परस्पर परिवर्तन गुणधर्म

The value of a determinant remains unchanged if the rows and the columns of a determinant are interchanged.

Before the rows and the columns are interchanged

$\bigtriangleup ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}$

After the rows and the columns are interchanged

$\bigtriangleup _{1}={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}$

$\bigtriangleup =\bigtriangleup _{1}$

Verification

$\bigtriangleup =a_{1}{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}-a_{2}{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}+a_{3}{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}$

$\bigtriangleup =a_{1}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})-a_{2}(b_{1}c_{3}-b_{3}c_{1})+a_{3}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})$

$\bigtriangleup =a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}$

$\bigtriangleup _{1}=a_{1}{\begin{vmatrix}b_{2}&c_{2}\\b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}-b_{1}{\begin{vmatrix}a_{2}&c_{2}\\a_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}+c_{1}{\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}$

$\bigtriangleup _{1}=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-b_{1}(a_{2}c_{3}-c_{2}a_{3})+c_{1}(a_{2}b_{3}-b_{2}a_{3})$

${△<!--\; △\; -->}_1=a_1{b}_2{c}_3-<!--\; -\; -->a_1{b}_3{c}_2-<!--\; -\; -->a_2{b}_1{c}_{}$