बीजीय सर्वसमिकाएँ

बीजगणितीय समीकरण जो उनमें चर के सभी मानों के लिए मान्य होते हैं, बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ कहलाते हैं। इनका उपयोग बहुपदों के गुणनखंडन के लिए किया जाता है। बीजीय सर्वसमिकाओं का उपयोग बीजगणितीय व्यंजकों की गणना और विभिन्न बहुपदों को हल करने में किया जाता है।

बीजीय सर्वसमिकाएँ

कुछ मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं की सूची नीचे दी गई है:

Identity I

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Example 1: Evaluate $(x+3)(x+3)$ using the identities

$(x+3)(x+3)=x^{2}+2(x)(3)+3^{2}$

$=x^{2}+6x+9$

Example 2: Factorise $49a^{2}+70ab+25b^{2}$

$49a^{2}=(7a)^{2}$ , $25b^{2}=(5b)^{2}$ , $70ab=2(7)(5)ab$

$(7a)^{2}+2(7)(5)ab+(5b)^{2}$

using the identity I $a=7a,b=5b$

$49a^{2}+70ab+25b^{2}=(7a+5b)^{2}=(7a+5b)(7a+5b)$

Identity II

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Example 1: Evaluate $(x-3)(x-3)$ using the identities

$(x-3)(x-3)=x^{2}-2(x)(3)+3^{2}$

$=x^{2}-6x+9$

Identity III

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Example: ${\frac {49}{4}}x^{2}-{\frac {y^{2}}{9}}$

${\frac {49}{4}}x^{2}-{\frac {y^{2}}{9}}$ = $\left[{\frac {7x}{2}}\right]^{2}-\left[{\frac {y}{3}}\right]^{2}$

Using the identity III

${\frac {49}{4}}x^{2}-{\frac {y^{2}}{9}}=$$\left[{\frac {7x}{2}}+{\frac {y}{3}}\right]\left[{\frac {7x}{2}}-{\frac {y}{3}}\right]$

Identity IV

$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$

Example: Evaluate $103\times 105$ using the identities

Using the identity IV

$103\times 105=(100+3)(100+5)=(100)^{2}+(3+5)(100)+(3\times 5)$

$=10000+800+15=10815$

Identity V

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$

Example: Expand $(3a+4b+5c)^{2}$

Using the identity IV

$(3a+4b+5c)^{2}=(3a)^{2}+(4b)^{2}+(5c)^{2}+2(3a)(4b)+2(4b)(5c)+2(5c)(3a)$

$(3a+4b+5c)^{2}=9a^{2}+16b^{2}+25c^{2}+24ab+40bc+30ca$

Identity VI

$(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$

Example: Evaluate $(104)^{3}$ using the identities

Using the identity VI

$(104)^{3}=(100+4)^{3}=(100)^{3}+(4)^{3}+3(100)(4)(100+4)$

=$1000000+64+124800=1124864$

Identity VII

$(a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)$

Example: Evaluate $(99)^{3}$ using the identities

Using the identity VI

$(99)^{3}=(100-1)^{3}=(100)^{3}-(1)^{3}-3(100)(1)(100-1)$

=$1000000-1-29700=970299$

Identity VIII

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

Example: Factorise $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$