उपसमुच्चय

परिचय

उपसमुच्चय संबंधों और फलनों की अवधारणाओं को परिभाषित करते हैं। ज्यामिति, अनुक्रम, प्रायिकता आदि में उपसमुच्चयों का ज्ञान आवश्यक है। एक समुच्चय $\{A,B,C,D,X,Y,Z\}$ के रूप में दर्शाए गए वस्तुओं का एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है। समुच्चय के तत्वों को अल्पविराम से अलग किया जाता है और कोष्ठक $\{\}$ के भीतर संलग्न किया जाता है।

तात्पर्य

यदि $X$ सभी त्रिभुजों का समुच्चय है और $Y$ सभी समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय है, तो इसका अर्थ है कि $Y$ का प्रत्येक अवयव $X$ का एक अवयव है। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $Y$, $X$ का एक उपसमुच्चय है।

परिभाषा

यदि समुच्चय $A$ का प्रत्येक अवयव, समुच्चय $B$ का भी एक अवयव है, तो $A$, $B$ का उपसमुच्चय कहलाता है।

अन्य शब्दों में, $A\subset B$, यदि जब कभी $a\in A$, तो $a\in B$. बहुधा प्रतीक '$\Longrightarrow$', जिसका अर्थ 'तात्पर्य है' होता है, का प्रयोग सुविधाजनक होता है। इस प्रतीक का प्रयोग कर के, हम उपसमुच्चय की परिभाषा इस प्रकार लिख सकते हैं:

$A\subset B$, यदि $a\in A$ $\Longrightarrow$ $a\in B$

हम उपर्युक्त कथन को इस प्रकार पढ़ते हैं, “$A$ , $B$ का एक उपसमुच्चय है, यदि इस तथ्य का, कि $a$, $A$ का एक अवयव है तात्पर्य है कि $a$, $B$ का भी एक अवयव है"। यदि $A$, $B$ का एक उपसमुच्चय नहीं है, तो हम लिखते हैं कि $A$⊄$B$ |

हमें ध्यान देना चाहिए कि $A$ को $B$ का समुच्चय होने के लिए केवल मात्र यह आवश्यक है कि $A$ का प्रत्येक अवयव $B$ में है। यह संभव है कि $B$ का प्रत्येक अवयव $A$ में हो या न हो। यदि ऐसा होता है कि $B$ का प्रत्येक अवयव $A$ में भी है, तो $B\subset A$ | इस दशा में, $A$ और $B$ समान समुच्चय हैं और इस प्रकार $A\subset B$ और $B\subset A$ $\Longleftrightarrow A=B$ जहाँ '' द्विधा तात्पर्य (टू वे इम्प्लिकेशन्स) के लिए प्रतीक है और जिसे प्राय: 'यदि और केवल यदि' पढ़ते हैं तथा संक्षेप में 'iff' लिखते हैं।

परिभाषा से निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक समुच्चय स्वयम् का उपसमुच्चय है, अर्थात् $A\subset A$ | चूँकि रिक्त समुच्चय $\phi$ में कोई अवयव नहीं होता है अतः हम इस बात से सहमत हैं कि $\phi$ प्रत्येक समुच्चय का एक उपसमुच्चय है।

नीचे दिए समुच्चयों पर विचार कीजिए:

$X$= आपके विद्यालय के सभी विद्यार्थियों का समुच्चय,

$Y$ = आपकी कक्षा के सभी विद्यार्थियों का समुच्चय ।

हम देखते हैं कि $Y$ का प्रत्येक अवयव, $X$ का भी एक अवयव है, हम कहते हैं कि $Y$, $X$ का एक उपसमुच्चय हैं $X$ का एक उपसमुच्चय है, प्रतीकों में $X\subset Y$ द्वारा प्रकट करते हैं। प्रतीक '$\subset$' कथन 'एक उपसमुच्चय है' अथवा 'अंतर्विष्ट है' के लिए प्रयुक्त होता है।

उदाहरण

अब हम कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं:

(i) परिमेय संख्याओं का समुच्चय $M$, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि $M\subset R$।

(ii) यदि $A$, संख्या $56$ के सभी भाजकों का समुच्चय है और $B$, संख्या $56$ के सभी अभाज्य भाजकों का समुच्चय है, तो $B$। $A$ का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि $B\subset A$।

मान लीजिए कि $A=\{1,3,5\}$ और B = $B=\{x:x$ संख्या $6$ से कम एक विषम प्राकृत संख्या है$\}$ तो $A\subset B$ तथा $B\subset A$, अतः $A=B$

(iv) मान लीजिए कि $A=\{a,e,i,o,u\}$ और $B=\{a,b,c,d\}$। तो $A$, $B$ का एक उपसमुच्चय नहीं है तथा $B$ भी $A$ का उपसमुच्चय नहीं है ।

मान लीजिए कि $A$ और $B$ दो समुच्चय हैं। यदि $A\subset B$ तथा $A\neq B$ तो $A$, $B$ का उचित उपसमुच्चय कहलाता है और $B$, $A$ का अधिसमुच्चय कहलाता है। उदाहरणार्थ,

$A=\{1,2,3\},B=\{1,2,3,4\}$का एक उचित उपसमुच्चय है।

यदि समुच्चय $A$ में केवल एक अवयव हो, तो हम इसे एक एकल समुच्चय कहते हैं। अतः $\{a\}$ एक एकल समुच्चय है।