समुच्चयों का अंतर

समुच्चयों का अंतर

समुच्चयों $A$ और $B$ का अंतर उन अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में हैं किंतु $B$ में नहीं हैं, जब कि $A$ और $B$ को इसी क्रम में लिया जाए। प्रतीतात्मक रूप में इसे $A-B$ लिखते हैं और “$A$ अंतर $B$” पढ़ते हैं।

उदाहरण 1: मान लेते हैं कि $A=\{1,2,3,4,5,6\}$, $B=\{2,4,6,8\}$ $A-B$ और $B-A$ ज्ञात कीजिए ।

हल हम प्राप्त करते हैं कि,$A-B=\{1,3,5\}$, क्योंकि अवयव $1,3,5$ समुच्चय $A$ में हैं किंतु $B$ में नहीं हैं तथा $B-A=\{8\}$, क्योंकि अवयव $8$, $B$ में है किंतु $A$ में नहीं है। हम देखते हैं कि $A-B\neq B-A$

उदाहरण 2: मान लीजिए कि $V=\{a,e,i,o,u\}$ तो $B=\{a,i,k,u\}$, तो $V-B$ और $B-V$ ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ, $V-B=\{e,o\}$ , क्योंकि अवयव $e,o$ समुच्चय $V$ में हैं किंतु $B$ में नहीं है तथा - $B-V=\{k\}$, क्योंकि अवयव $k$ समुच्चय $B$ में है परंतु $V$ में नहीं है।

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चित्र-1 समुच्चयों का अंतर

हम यह अवश्य ध्यान देते हैं कि $V-B\neq B-V$ समुच्चय निर्माण संकेतन का प्रयोग करते हुए हम समुच्चयों के अंतर की परिभाषा को पुनः इस प्रकार लिख सकते हैं:

$A-B=\{x:x\in A$ और $x\not \in B\}$

दो समुच्चयों $A$ और $B$ के अंतर को वेन आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है जैसा कि चित्र-1 में प्रदर्शित है। छायांकित भाग दो समुच्चय $A$ और $B$ के अंतर को दर्शाता है।

टिप्पणी

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चित्र-2 समुच्चयों का अंतर

समुच्चय $A-B,A\cap B$ और $B-A$ परस्पर असंयुक्त होते हैं अर्थात् इनमें से किसी दो समुच्चयों का सर्वनिष्ठ समुच्चय एक रिक्त समुच्चय होता है जैसा कि चित्र-2 में प्रदर्शित है।