दो चर राशियों के रैखिक असमिकाओं का आलेखीय हल

दो चरों में रैखिक असमिकाएँ क्या हैं?

जब एक व्यंजक को दूसरे व्यंजक से बड़ा या छोटा दिया जाता है, तो हमारे पास असमिका होती है।

रैखिक असमिकाओं को ऐसे व्यंजकों के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ असमिका प्रतीकों का उपयोग करके दो मानों की तुलना की जाती है। असमिकाओं को दर्शाने वाले प्रतीक हैं:

सम नही	≠
से कम	(<)
से अधिक	(>)
से कम या बराबर	(≤)
से बड़ा या बराबर	(≥)

दो चरों में रैखिक असमिकाएँ दो बीजीय व्यंजकों के बीच असमान संबंध को दर्शाती हैं जिसमें दो अलग-अलग चर उपस्थित होते हैं।

दो चरों में रैखिक असमिका तब बनती है जब बराबर के अलावा अन्य प्रतीकों, जैसे कि से बड़ा या उससे कम का उपयोग दो व्यंजकों को जोड़ने के लिए किया जाता है, और दो चर शामिल होते हैं।

यहाँ दो चरों में रैखिक असमिकाओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

$2x<3y+2$

$7x-2y>8$

$3x+4y+3\leq 2y-5$

$y+x\geq 0$

दो चरों वाली रैखिक असमिकाओं का हल

दो चरों वाली रैखिक असमिका का हल, जैसे $Ax+By>C$, एक क्रमित युग्म $(x,y)$ है जो $x$ और $y$ के मानों को असमिका में प्रतिस्थापित करने पर एक सत्य कथन उत्पन्न करता है।

रैखिक असमिकाओं को हल करना रैखिक समीकरणों को हल करने के समान है; इसका अंतर असमिका प्रतीक का है।

हम रैखिक असमिकाओं को उसी तरह हल करते हैं जैसे रैखिक समीकरणों को हल करते हैं।

चरण 1: असमिका के नियमों के अनुसार दोनों पक्षों पर असमिका को सरल करें, $LHS$ के साथ-साथ $RHS$ पर भी।

चरण 2: मान प्राप्त होने के बाद, हमारे पास है:

सख्त असमिकाएँ , जिसमें असमिकाओं के दो पक्ष एक दूसरे के बराबर नहीं हो सकते।

गैर-सख्त असमिकाएँ , जिसमें असमिकाओं के दो पक्ष भी बराबर हो सकते हैं।

निम्नलिखित असमिका पर विचार करें:

$2x+3y>7$

जब हम इस असमिका का हल खोजने की बात करते हैं, तो हम $x$ और $y$ के उन सभी मानों के युग्मों के बारे में बात कर रहे होते हैं जिनके लिए यह असमिका संतुष्ट होती है। इसका मतलब है, उदाहरण के लिए, कि $x=4,y=3$, इस विशेष असमिका का एक संभावित समाधान है। हालाँकि, $x=0,y=0$ नहीं है, क्योंकि जब आप असमिका के बाएँ पक्ष पर $x$ और $y$ को $0$ के बराबर प्रतिस्थापित करते हैं, तो यह 7 से कम हो जाता है।

हमने देखा कि दो चरों वाले किसी भी रैखिक समीकरण के लिए, अनंत रूप से कई समाधान हैं। अब यह आपके लिए स्पष्ट हो सकता है कि किसी भी रैखिक असमिका के लिए भी, हमारे पास अनंत रूप से कई समाधान होंगे। ये सभी समाधान रैखिक असमिका के समाधान समुच्चय का गठन करेंगे।

दो चरों वाली असमिकाओं का आलेखीय निरूपण

दो चरों वाली रैखिक असमानताओं के अनंत सेट या अनंत रूप से कई क्रमित युग्म समाधान होते हैं।

इन क्रमित जोड़ों या समाधान सेटों को आयताकार निर्देशांक तल के उपयुक्त आधे भाग में ग्राफ़ किया जा सकता है।

दो चरों वाली असमानताओं का आलेखीय निरूपण के लिए,

1. असमानता के प्रकार (से अधिक, उससे कम, उससे अधिक या बराबर, उससे कम या बराबर) की पहचान करें।
2. सीमा रेखा का ग्राफ बनाएँ - एक धराशायी (सख्त असमानता के मामले में) या एक ठोस रेखा (गैर-सख्त असमानताओं के मामले में)।
3. एक परीक्षण बिंदु चुनें, संभवतः $(0,0)$ या कोई अन्य बिंदु जो सीमा पर न हो।
4. क्षेत्र को तदनुसार छायांकित करें। यदि परीक्षण बिंदु असमानता को हल करता है, तो उस क्षेत्र को छायांकित करें जिसमें वह शामिल है। अन्यथा, सीमा रेखा के विपरीत पक्ष को छायांकित करें।
5. क्षेत्र के अंदर और बाहर अधिक संख्या में परीक्षण बिंदुओं के साथ सत्यापित करें।

उदाहरण: रैखिक समानता $2x+3y>7$ का ग्राफ बनाएँ।

• रैखिक समीकरण $2x+3y=7$ के संगत सीधी रेखा को प्लॉट करें।
• इस समीकरण के लिए कोई दो बिंदु (समाधान) निर्धारित करें: ग्राफ पर दो संभावित बिंदु $A(-1,3)B(2,1)$ के रूप में लिए जा सकते हैं और उन्हें ग्राफ पर प्लॉट करें।
• रैखिक असमानता $2x+3y>7$ के लिए कुछ विशिष्ट समाधान निर्धारित करें, जो इस प्रकार हो सकते हैं $(2,3),(3,1),(4.5,0)$
• इन पाँच बिंदुओं को एक ही ग्राफ पर प्लॉट करें।

सभी पाँच बिंदु (पाँच समाधानों के अनुरूप) रेखा के ऊपर स्थित हैं।

• कोई भी बिंदु लें जो रेखा के ऊपर स्थित हो। इसके निर्देशांक, मान लें $(x_{0},y_{0})$, असमानता को संतुष्ट करेंगे: $2x_{0}+3y_{0}>7$
• इसका मतलब है कि असमानता के लिए समाधान सेट में रेखा के ऊपर स्थित सभी बिंदु शामिल हैं।
• $x=0,y=0$ रखें, जो $2(0)+3(0)>7$ देता है, जो आगे$0>7$ देता है। यह दी गई असमानता के लिए सही नहीं है। इसलिए, उस आधे तल को छायांकित करें जिसमें बिंदु $(0,0)$ शामिल नहीं है।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

• असमानताओं को दोनों पक्षों को एक ही संख्या से जोड़कर, घटाकर, गुणा करके या भाग देकर हल किया जा सकता है।
• दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्याओं से विभाजित या गुणा करने से असमानता की दिशा बदल जाएगी।
• छायांकित क्षेत्र के बाहर के क्रमित जोड़े रैखिक असमानताओं को हल नहीं करते हैं।
• कम और अधिक से अधिक सख्त असमानताएं हैं जबकि कम या बराबर और अधिक या बराबर सख्त असमानताएं नहीं हैं।
• कोई भी रेखा उस तल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करेगी जिसमें वह स्थित है।
• रैखिक असमानताओं के समाधान सेट अर्ध-तलों के अनुरूप होते हैं, जबकि रैखिक समीकरणों के समाधान सेट रेखाओं के अनुरूप होते हैं।