सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोग

मैट्रिक्स और निर्धारक तत्वों की एक सरणी से जुड़े विभिन्न अंकगणितीय संचालन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। मैट्रिक्स तत्वों की एक आयताकार सरणी है जिसे पंक्तियों और स्तंभों के रूप में दर्शाया जाता है। और निर्धारकों की गणना एक मैट्रिक्स के लिए की जाती है और यह एक एकल संख्यात्मक मान है जिसे तत्वों की इस सरणी से गणना की गई है। मैट्रिक्स को बड़े अक्षरों में एक वर्णमाला के साथ दर्शाया जाता है और इसे A के रूप में लिखा जाता है, और निर्धारक को |A| के रूप में दर्शाया जाता है।

मैट्रिक्स और निर्धारकों के गुणों में अंतर होता है। एक स्थिरांक K का मैट्रिक्स के साथ गुणन मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को गुणा करता है, और एक स्थिरांक K का निर्धारक के साथ गुणन किसी विशेष पंक्ति या स्तंभ के तत्वों के साथ गुणा करता है। आइए उदाहरणों, अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों की मदद से मैट्रिक्स और निर्धारकों के गुणों और उनके बीच अंतर के बारे में अधिक जानें।

मैट्रिक्स और निर्धारक क्या हैं?

मैट्रिक्स और निर्धारक तत्वों की एक सरणी का प्रतिनिधित्व करते हैं, और हम पूरे निर्धारक के लिए एक एकल तत्व मान की गणना करते हैं। मैट्रिक्स मैट्रिक्स का बहुवचन रूप है, जो एक आयताकार सरणी या एक तालिका है जहाँ संख्याएँ या तत्व कई पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित होते हैं। मैट्रिक्स को जोड़ा या घटाया जा सकता है यदि उनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान हो जबकि उन्हें गुणा किया जा सकता है यदि केवल पहले कॉलम और दूसरे कॉलम की पंक्तियाँ बिल्कुल समान हों।

मैट्रिक्स और निर्धारकों का गणित में घनिष्ठ संबंध है। मैट्रिक्स तत्वों की एक सरणी है जिसे M द्वारा दर्शाया जाता है, और निर्धारक इस मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करने वाला एकल संख्यात्मक मान है और इसे |M| के रूप में दर्शाया जाता है। आइए मैट्रिक्स और निर्धारक की परिभाषा देखें।

मैट्रिक्स की परिभाषा

मैट्रिक्स तत्वों की एक सरणी है जिसे पंक्तियों और स्तंभों के रूप में दर्शाया जाता है। निर्धारकों को मैट्रिक्स के अदिश कारक माना जाता है। मैट्रिक्स को आम तौर पर बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है। मैट्रिक्स का क्रम मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या द्वारा दर्शाया जाता है। क्रम m x n के मैट्रिक्स में m पंक्तियाँ और n स्तंभ होते हैं।

निर्धारक की परिभाषा

प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स के लिए, C = [

c

i

j

] क्रम n×n के लिए, निर्धारक को एक स्केलर मान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो वास्तविक या एक जटिल संख्या है, जहाँ

c

i

j

मैट्रिक्स C का (i,j)वाँ तत्व है। निर्धारक को det(C) या |C| के रूप में दर्शाया जा सकता है, यहाँ निर्धारक को संख्याओं के ग्रिड को लेकर और उन्हें वर्ग कोष्ठक का उपयोग करने के बजाय निरपेक्ष-मान बार के अंदर व्यवस्थित करके लिखा जाता है।

मैट्रिक्स C = पर विचार करें

तब, इसका निर्धारक इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

fromGG

मैट्रिक्स पंक्तियों और स्तंभों में संख्याओं की एक द्वि-आयामी व्यवस्था है जो वर्गाकार कोष्ठकों की एक जोड़ी द्वारा संलग्न होती है या कह सकते हैं कि मैट्रिक्स कुछ और नहीं बल्कि संख्याओं, अभिव्यक्तियों और प्रतीकों की आयताकार व्यवस्था है जो स्तंभों और पंक्तियों में व्यवस्थित होती हैं। मैट्रिक्स और निर्धारकों के अनुप्रयोग मुख्य रूप से विज्ञान और इंजीनियरिंग के क्षेत्रों में हैं।

मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व: किसी भी m × n मैट्रिक्स को इस प्रकार दर्शाया जाता है, A =

इसे A के रूप में भी दर्शाया जा सकता है

गणित में निर्धारकों को मैट्रिक्स के स्केलिंग कारक के रूप में पहचाना जाता है। उन्हें मैट्रिक्स के विस्तार और सिकुड़ने के कार्यों के रूप में देखा जा सकता है। निर्धारक इनपुट के रूप में एक वर्ग मैट्रिक्स का उपयोग करते हैं और परिणाम के रूप में एक एकल संख्या प्रदान करते हैं। सभी वर्ग मैट्रिक्स के लिए, X=[xij]

क्रम n×n के, एक निर्धारक को एक स्केलर मान के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है जो एक वास्तविक या एक जटिल संख्या हो सकती है, जहाँ xij

मैट्रिक्स X का (i,j)वाँ तत्व है। निर्धारक को det(X) या |X| संकेतन द्वारा दर्शाया जाता है।

मैट्रिक्स और निर्धारकों का उदाहरण: एक मैट्रिक्स पर विचार करें:

फिर, इसका निर्धारक इस प्रकार दर्शाया जाता है:

मैट्रिक्स और निर्धारकों के अनुप्रयोग

वैज्ञानिक क्षेत्र में मैट्रिक्स और निर्धारकों के कई अनुप्रयोग हैं और ये व्यावहारिक वास्तविक जीवन की समस्या पर लागू होते हैं। इनका उपयोग मुख्य रूप से विज्ञान और इंजीनियरिंग के क्षेत्र में किया जाता है।

1. मैट्रिक्स और निर्धारकों के अनुप्रयोग इस प्रकार हैं:
2. रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना
3. एक प्रणाली की संगति
4. रैखिक समीकरणों को हल करना
5. एक रेखा का सामान्य समीकरण
6. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
7. त्रिभुज का क्षेत्रफल
8. एक समांतर चतुर्भुज का आयतन

मैट्रिक्स और निर्धारकों पर उदाहरण

उदाहरण 1: दो मैट्रिक्स का गुणन ज्ञात करें, और परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक ज्ञात करें।

(1024) और (6843)

समाधान:

दिए गए मैट्रिक्स 2×2 क्रम के हैं। ∵वे मैट्रिक्स गुणन के लिए संगत हैं, हम मैट्रिक्स का गुणन ज्ञात कर सकते हैं और उनका गुणनफल मैट्रिक्स भी 2×2 क्रम का होगा।

मैट्रिसेस का गुणनफल

निर्धारक मान |A| = 6 x 28 - 8 x 28 = -2 x 28 = -56 है

उत्तर: इसलिए दोनों आव्यूहों का गुणनफल A =

(682828) है और उनका निर्धारक मान |A| = -56 है।

1. Example 2: Find the determinant of the matrix A where A=⎡⎢⎣132−3−1−3231⎤⎥⎦. Solution: |C| = 1⋅∣∣∣−1−331∣∣∣−3⋅∣∣∣−3−321∣∣∣+2⋅∣∣∣−3−123∣∣∣ Using the determinants rule, =|C| = 1. (-1 -(-9) - 3. (-3 -(-6) + 2.(-9 -(-2)) = 1. (-1 +9) - 3. (-3 +6) + 2 .(-9 +2) = 8 - 9 -14 =|C| = -15 Answer: The determinant of the given matrix is -15.