द्वितीय कोटि का अवकलज

व्युत्पन्न आपको किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन की ढलान प्रदान करता है। किसी फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए स्थान पर स्पर्शरेखा की ढलान, या उस स्थिति पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की तात्कालिक दर, उस बिंदु पर पहले क्रम के व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित की जाती है। द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ के आकार की समझ प्रदान करता है। फ़ंक्शन $f(x)$ के दूसरे व्युत्पन्न को आमतौर पर $f''(x)$ के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। यदि $y=f,$तो इसे कभी-कभी $d^{2}y$ या $y^{2}$ या $y''(x)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

परिभाषा

किसी फ़ंक्शन का दूसरा-क्रम व्युत्पन्न विचाराधीन फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न के व्युत्पन्न से ज़्यादा कुछ नहीं है। नतीजतन, दूसरे व्युत्पन्न की गणना करके, जो समय के संबंध में गति में परिवर्तन की दर है, कार की गति में बदलाव (समय के संबंध में यात्रा की गई दूरी का दूसरा व्युत्पन्न) निर्धारित करना संभव है।

चलिए मान लेते हैं $y=f\cdot (x)$

${dy \over dx}=f'$ तब $(x)$

यदि $f'(x)$ अवकलनीय है, तो हम इसे '$x$' के सापेक्ष एक बार फिर अवकलित कर सकते हैं। इस प्रकार बायाँ भाग ${d \over dx}\left({\frac {dy}{dx}}\right)$ बन जाता है, जिसे अक्सर $x$ के संबंध में $y$ का द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न कहा जाता है।

अब, द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न क्या है? द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का व्युत्पन्न होता है। इसे प्रथम-क्रम व्युत्पन्न से निकाला जाता है। इसलिए हम पहले फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढ़ते हैं और फिर प्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न निकालते हैं। प्रथम-क्रम व्युत्पन्न को $f'(x)$ या ${dy \over dx}$ के रूप में लिखा जा सकता है जबकि द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न को $f''(x)$ या ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ के रूप में लिखा जा सकता है

द्वितीय कोटि के अवकलज उदाहरण

प्रश्न यदि $f(x)=sin3x\ cos4x$ है, तो $f''(x)$ ज्ञात कीजिए। अतः दर्शाइए कि, $f''({\frac {\pi }{2}})=25$

समाधान हमारे पास है,

$f(x)=sin3x\ cos4x\ or,f(x)={\frac {1}{2}}\cdot 2sin3x\ cos4x={\frac {1}{2}}(sin7x-sinx)$

$x$ के सापेक्ष दो बार क्रमिक रूप से अवकलन करने पर, हम पाते हैं,

$f'(x)={\frac {1}{2}}cos7x\cdot [{d \over dx}7x-cosx]={\frac {1}{2}}7cos7x-cosx$

और $f''(x)={\frac {1}{2}}[7(-sin7x){d \over dx}7x-(-sinx)]={\frac {1}{2}}-49sin7x+sinx$

इसलिए, $f^{″}(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2})=\frac{1}{2}$