त्रिभुजों की समरूपता

त्रिभुजों की समरूपता को उनके गुणों के आधार पर परिभाषित/निर्धारित किया जा सकता है।दो त्रिभुज समरूप होते हैं, यदि

(i) उनके संगत कोण समान हैं तथा

(ii) उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात (या समानुपात) में हैं।

त्रिभुजों की समरूपता के लिए ये दोनों मुख्य स्थितियाँ हैं।

ध्यान दें कि यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण समान हों, तो उन्हें समकोण त्रिभुज कहते हैं। प्रसिद्ध यूनानी गणितज्ञ थेल्स ने दो समकोण त्रिभुजों के संबंध में एक महत्वपूर्ण सत्य बताया जो इस प्रकार है:

दो समकोण त्रिभुजों में किन्हीं दो संगत भुजाओं का अनुपात प्रायः समान होता है।

ऐसा माना जाता है कि उन्होंने इसके लिए मूल आनुपातिकता प्रमेय (जिसे अब थेल्स प्रमेय के रूप में जाना जाता है) नामक परिणाम का उपयोग किया था।

प्रमेय 1

File:Triangle - theorem -1.jpg

चित्र .1

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर एक रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करे, तो अन्य दो भुजाएं समान अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

प्रमाण: हमें एक $\triangle ABC$ दिया गया है जिसमें भुजा $BC$ के समांतर एक रेखा अन्य दो भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः $D$ और $E$ पर प्रतिच्छेद करती है (चित्र-1 देखें)।

हमें यह प्रमाणित करने की आवश्यकता है ${\frac {AD}{DB}}={\frac {AE}{EC}}$ .

आइए $BE$ और $CD$ को मिलाएँ और फिर $DN\perp AC$ और $EM\perp AB$ बनाएँ

अब, क्षेत्रफल $\triangle ADE={\frac {1}{2}}AD\times EM$

क्षेत्रफल $\triangle BDE={\frac {1}{2}}DB\times EM$

क्षेत्रफल $\triangle ADE={\frac {1}{2}}AE\times DN$

क्षेत्रफल $\triangle DEC={\frac {1}{2}}EC\times DN$

क्षेत्रफल ${\frac {ADE}{BDE}}={\frac {{\frac {1}{2}}AD\times EM}{{\frac {1}{2}}DB\times EM}}={\frac {AD}{DB}}....(1)$

क्षेत्रफल ${\frac {ADE}{DEC}}={\frac {{\frac {1}{2}}AE\times DN}{{\frac {1}{2}}EC\times DN}}={\frac {AE}{EC}}....(2)$

ध्यान दें कि $\triangle BDE$ और $\triangle DEC$ एक ही आधार $DE$ पर और एक ही समान्तर रेखाओं $BC$ और $DE$ के बीच में हैं,

क्षेत्रफल $\triangle BDE=$ $\triangle DEC....(3)$

अतः $(1)(2)(3)$ से हमें प्राप्त होता है

${\frac {AD}{DB}}={\frac {AE}{EC}}$

प्रमेय 2

यदि कोई रेखा त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।

File:Triangle - Theorem 2.jpg

चित्र .2

मान लीजिए $ABC$ एक त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $AB,AC,BC$ हैं। $DE$ त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करता है।

दिया हुआ: रेखा त्रिभुज को समान अनुपात में विभाजित करती है। इस प्रकार ${\frac {AD}{DB}}={\frac {AE}{EC}}$

प्रमाण:

${\frac {AD}{DB}}={\frac {AE}{EC}}....(1)$ (दिया हुआ)

आइये मान लेते हैं $DE$, $BC$ के समांतर नहीं है। अब हम $DE^{'}\parallel BC$ बनाते हैं

इसलिए

${\frac {AD}{DB}}={\frac {AE^{'}}{E^{'}C}}....(2)$ (समरूप त्रिभुजों का गुणधर्म)

अत: $(1)(2)$ से

${\frac {AE}{EC}}={\frac {AE^{'}}{E^{'}C}}$

अब हम दोनों पक्षों में 1 जोड़ते हैं,

${\frac {AE}{EC}}+1={\frac {AE^{'}}{E^{'}C}}+1$

${\frac {AE}{EC}}+{\frac {EC}{EC}}={\frac {AE^{'}}{E^{'}C}}+{\frac {E^{'}C}{E^{'}C}}$

${\frac {AE+EC}{EC}}={\frac {AE^{'}+E^{'}C}{E^{'}C}}$

चित्र के अनुसार

$AE+EC=AC$

$AE^{'}+E^{'}C=AC$

उपरोक्त समीकरण में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

${\frac {AC}{EC}}={\frac {AC}{E^{'}C}}$

इसका सीधा तात्पर्य यह है कि

$EC=E^{'}C$

और $E=E^{'}$जिसका अर्थ है कि वे एक ही बिंदु हैं।

अतः $DE$, $BC$ के समांतर है। इससे त्रिभुजों की समरूपता सिद्ध होती है।