त्रिभुजों की समरूपता

त्रिभुजों की समरूपता को उनके गुणों के आधार पर परिभाषित/निर्धारित किया जा सकता है।दो त्रिभुज समरूप होते हैं, यदि

(i) उनके संगत कोण समान हैं तथा

(ii) उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात (या समानुपात) में हैं।

त्रिभुजों की समरूपता के लिए ये दोनों मुख्य स्थितियाँ हैं।

ध्यान दें कि यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण समान हों, तो उन्हें समकोण त्रिभुज कहते हैं। प्रसिद्ध यूनानी गणितज्ञ थेल्स ने दो समकोण त्रिभुजों के संबंध में एक महत्वपूर्ण सत्य बताया जो इस प्रकार है:

दो समकोण त्रिभुजों में किन्हीं दो संगत भुजाओं का अनुपात प्रायः समान होता है।

ऐसा माना जाता है कि उन्होंने इसके लिए मूल आनुपातिकता प्रमेय (जिसे अब थेल्स प्रमेय के रूप में जाना जाता है) नामक परिणाम का उपयोग किया था।

प्रमेय 1

File:Triangle - theorem -1.jpg

चित्र .1

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर एक रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करे, तो अन्य दो भुजाएं समान अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

प्रमाण: हमें एक $\triangle ABC$ दिया गया है जिसमें भुजा $BC$ के समांतर एक रेखा अन्य दो भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः $D$ और $E$ पर प्रतिच्छेद करती है (चित्र-1 देखें)।

हमें यह प्रमाणित करने की आवश्यकता है ${\frac {AD}{DB}}={\frac {AE}{EC}}$ .

आइए $BE$ और $CD$ को मिलाएँ और फिर $DN\perp AC$ और $EM\perp AB$ बनाएँ

अब, क्षेत्रफल $\triangle ADE={\frac {1}{2}}AD\times EM$

क्षेत्रफल $\triangle BDE={\frac {1}{2}}DB\times EM$

क्षेत्रफल $\triangle ADE={\frac {1}{2}}AE\times DN$

क्षेत्रफल $\triangle DEC={\frac {1}{2}}EC\times DN$

क्षेत्रफल ${\frac {ADE}{BDE}}={\frac {{\frac {1}{2}}AD\times EM}{{\frac {1}{2}}DB\times EM}}={\frac {AD}{DB}}....(1)$

क्षेत्रफल ${\frac {ADE}{DEC}}={\frac {{\frac {1}{2}}AE\times DN}{{\frac {1}{2}}EC\times DN}}={\frac {AE}{EC}}....(2)$

ध्यान दें कि $\triangle BDE$ और $\triangle DEC$ एक ही आधार $DE$ पर और एक ही समान्तर रेखाओं $BC$ और $DE$ के बीच में हैं,

क्षेत्रफल $\triangle BDE=$ $\mathrm{△<!--\; △\; -->}DEC....(3$