आव्यूहों का अंतर: Difference between revisions

Revision as of 15:02, 29 November 2024

आव्यूहों का अंतर दो या अधिक आव्यूहों के संगत तत्वों के घटाव को संदर्भित करता है। आव्यूह डेटा को पंक्तियों और स्तंभों के रूप में व्यवस्थित करने के लिए एक गणितीय प्रारूप है। आव्यूहों का अंतर तत्वानुसार आव्यूहों अंतर के माध्यम से किया जा सकता है। आव्यूहों पर अलग-अलग संचालन लागू किए जा सकते हैं जैसे जोड़, घटाव और गुणा। इस लेख में, हम मुख्य रूप से आव्यूह के अंतर के संचालन पर ध्यान केंद्रित करेंगे। आव्यूह का अंतर आव्यूह के संगत तत्वों को घटाने की एक प्रक्रिया है। आव्यूह का अंतर आव्यूह के जोड़ के समान तरीके से किया जाता है। आव्यूह जोड़ की बाधाएँ आव्यूह अंतर के लिए भी लागू होती हैं। आव्यूह का अंतर मात्र समान आकार के आव्यूह के लिए परिभाषित किया गया है। आइए उदाहरणों का उपयोग करके अवधारणा का विस्तार से पता लगाएं।

परिभाषा

आव्यूहों का अंतर एक ही क्रम के आव्यूहों के तत्वानुसार अंतर का एक संचालन है, यानी, ऐसे आव्यूहों जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है। यदि किसी आव्यूह में क्षैतिज पंक्तियों की संख्या ' $m$ ' है और ऊर्ध्वाधर स्तंभों की संख्या ' $n$ ' है, तो आव्यूह को ' $m\times n$ ' आयाम वाला कहा जाता है। आव्यूहों के अंतर के लिए, घटाए जाने वाले आव्यूहों का उसी आयाम का होना आवश्यक है, जिस आयाम में हम आव्यूहों के संगत तत्वों को घटाते हैं।

आव्यूहों का अंतर अर्थ आव्यूहों का अंतर या आव्यूह अंतर केवल तभी संभव हो सकता है जब दोनों आव्यूहों की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान हो। दो आव्यूहों को घटाते समय, हम प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ के तत्वों को दूसरे आव्यूह की पंक्ति और स्तंभ के संगत तत्वों से घटाते हैं। एक ही क्रम ' $m\times n$ ' के दो आव्यूहों $A$ और $B$ पर विचार करें, जहाँ $m$ पंक्तियों की संख्या है और $n$ दो आव्यूहों के स्तंभों की संख्या है, जिन्हें $A=[a_{ij}]$ और $B=[b_{ij}]$ के रूप में दर्शाया गया है। अब, दो आव्यूहों $A$ और $B$ का अंतर इस प्रकार दिया गया है: $A-B=[a_{ij}]-[b_{ij}]=[a_{ij}-b_{ij}],$ जहाँ $ij$ , $i$ th पंक्ति और $j$ th स्तंभ में प्रत्येक तत्व की स्थिति को दर्शाता है। अंतर आव्यूह का आयाम, अर्थात $A-B$ भी ' $m\times n$ ' है।

$[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & . . & . . & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & . . & . . & a_{2 n} \\ : & : & : & . . & . . & : \\ a_{m 1} & a_{m 2} & a_{m 3} & . . & . . & a_{m n} \end{matrix}] - [\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & . . & . . & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & . . & . . & b_{2 n} \\ : & : & : & . . & . . & : \\ b_{m 1} & b_{m 2} & b_{m 3} & . . & . . & b_{m n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} & a_{13} - b_{13} & . . & . . & a_{1 n} - b_{1 n} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} & a_{23} - b_{23} & . . & . . & a_{2 n} - b_{2 n} \\ : & : & : & . . & . . & : \\ a_{} \end{matrix}$

2 × 2 क्रम के आव्यूहों का घटाव

जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूहों का अंतर तभी संभव है जब आव्यूहों में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर हो, इसलिए, 2 × 2 क्रम के आव्यूहों के अंतर के लिए, आव्यूहों में 2 पंक्तियाँ और 2 स्तंभ होने चाहिए। अब, 2 × 2 आयाम वाले दो आव्यूह A और B पर विचार करें। A से B को घटाने के लिए, हम B के तत्वों को A के संगत तत्वों से घटाएँगे। A (क्रम 2 × 2) से B को घटाने का सामान्य रूप है:

2 × 2 आयाम के आव्यूहअंतर की अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए दो आव्यूहA और B का उदाहरण लें, और A से B घटाएं।

3 × 3 क्रम के आव्यूहों का घटाव

3 × 3 आव्यूहों का आव्यूहअंतर का तात्पर्य है कि एक दूसरे से घटाए जाने वाले आव्यूहों में 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं। आव्यूहों घटाते समय, हम एक आव्यूहके तत्वों को दूसरे आव्यूहके संगत तत्वों से घटाते हैं। 3 × 3 क्रम के आव्यूहों A और B के अंतर का सामान्य रूप है:

कृपया ध्यान दें कि आव्यूहों के अंतर के लिए आव्यूहों का वर्गाकार आव्यूहों होना ज़रूरी नहीं है। यदि आव्यूहों का क्रम समान है, तो आयताकार आव्यूहों का आव्यूहअंतर भी परिभाषित किया जाता है।

आव्यूहअंतर के गुण

आव्यूहके योग के लिए सभी प्रतिबंध आव्यूहके अंतर पर भी लागू होते हैं। लेकिन कुछ ऐसे नियम हैं जिनका आव्यूहअंतर संख्याओं के अंतर की तरह पालन नहीं करता है। आव्यूहके अंतर के लिए इन सभी गुणों को धारण करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण आवश्यकता यह है कि आव्यूहअंतर केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब आव्यूहका क्रम समान हो।

आव्यूहअंतर के लिए पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होनी चाहिए।

आव्यूहका अंतर क्रमविनिमेय नहीं है, अर्थात A - B ≠ B - A

आव्यूहका अंतर साहचर्य नहीं है, अर्थात (A - B) - C ≠ A - (B - C)

आव्यूहको स्वयं से घटाने पर एक शून्य आव्यूहप्राप्त होता है, अर्थात A - A = O.

आव्यूहका अंतर एक आव्यूहके ऋणात्मक को दूसरे आव्यूहमें जोड़ना है, अर्थात A - B = A + (-B)।

आव्यूहके अंतर पर महत्वपूर्ण नोट्स

आव्यूहका अंतर केवल तभी संभव है जब आव्यूहका आयाम समान हो।

आव्यूहका अंतर क्रमविनिमेय और साहचर्य नहीं है।

आव्यूहअंतर के लिए हम आव्यूहके संगत तत्वों को घटाते हैं।

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-मैट्रिक्स का घटाव दो या अधिक मैट्रिक्स के संगत तत्वों के घटाव को संदर्भित करता है। मैट्रिक्स डेटा को पंक्तियों और स्तंभों के रूप में व्यवस्थित करने के लिए एक गणितीय प्रारूप है। मैट्रिक्स का घटाव तत्व-वार मैट्रिक्स घटाव के माध्यम से किया जा सकता है। मैट्रिक्स पर अलग-अलग ऑपरेशन लागू किए जा सकते हैं जैसे जोड़, घटाव और गुणा। इस लेख में, हम मुख्य रूप से मैट्रिक्स के घटाव के संचालन पर ध्यान केंद्रित करेंगे। मैट्रिक्स का घटाव मैट्रिक्स के संगत तत्वों को घटाने की एक प्रक्रिया है। मैट्रिक्स का घटाव मैट्रिक्स के जोड़ के समान तरीके से किया जाता है। मैट्रिक्स जोड़ की बाधाएँ मैट्रिक्स घटाव के लिए भी लागू होती हैं। मैट्रिक्स का घटाव केवल समान आकार के मैट्रिक्स के लिए परिभाषित किया गया है। आइए उदाहरणों का उपयोग करके अवधारणा का विस्तार से पता लगाएं।
+आव्यूहों का अंतर दो या अधिक आव्यूहों के संगत तत्वों के घटाव को संदर्भित करता है। आव्यूह डेटा को पंक्तियों और स्तंभों के रूप में व्यवस्थित करने के लिए एक गणितीय प्रारूप है। आव्यूहों का अंतर तत्वानुसार आव्यूहों अंतर के माध्यम से किया जा सकता है। आव्यूहों पर अलग-अलग संचालन लागू किए जा सकते हैं जैसे जोड़, घटाव और गुणा। इस लेख में, हम मुख्य रूप से आव्यूह के अंतर के संचालन पर ध्यान केंद्रित करेंगे। आव्यूह का अंतर आव्यूह के संगत तत्वों को घटाने की एक प्रक्रिया है। आव्यूह का अंतर आव्यूह के जोड़ के समान तरीके से किया जाता है। आव्यूह जोड़ की बाधाएँ आव्यूह अंतर के लिए भी लागू होती हैं। आव्यूह का अंतर मात्र समान आकार के आव्यूह के लिए परिभाषित किया गया है। आइए उदाहरणों का उपयोग करके अवधारणा का विस्तार से पता लगाएं।
 == परिभाषा ==
-मैट्रिसेस का घटाव एक ही क्रम के मैट्रिसेस के तत्व-वार घटाव का एक ऑपरेशन है, यानी, ऐसे मैट्रिसेस जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है। यदि किसी मैट्रिक्स में क्षैतिज पंक्तियों की संख्या 'm' है और ऊर्ध्वाधर स्तंभों की संख्या 'n' है, तो मैट्रिक्स को 'm × n' आयाम वाला कहा जाता है। मैट्रिसेस के घटाव के लिए, घटाए जाने वाले मैट्रिसेस का उसी आयाम का होना आवश्यक है, जिस आयाम में हम मैट्रिसेस के संगत तत्वों को घटाते हैं।
+आव्यूहों का अंतर एक ही क्रम के आव्यूहों के तत्वानुसार अंतर का एक संचालन है, यानी, ऐसे आव्यूहों  जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है। यदि किसी आव्यूह में क्षैतिज पंक्तियों की संख्या '<math>m</math>' है और ऊर्ध्वाधर स्तंभों की संख्या '<math>n</math>' है, तो आव्यूह को '<math>m \times n</math>' आयाम वाला कहा जाता है। आव्यूहों  के अंतर के लिए, घटाए जाने वाले आव्यूहों  का उसी आयाम का होना आवश्यक है, जिस आयाम में हम आव्यूहों  के संगत तत्वों को घटाते हैं।
-मैट्रिसेस का घटाव अर्थ मैट्रिसेस का घटाव या मैट्रिक्स घटाव केवल तभी संभव हो सकता है जब दोनों मैट्रिसेस की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान हो। दो मैट्रिसेस को घटाते समय, हम प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ के तत्वों को दूसरे मैट्रिक्स की पंक्ति और स्तंभ के संगत तत्वों से घटाते हैं। एक ही क्रम 'm × n' के दो मैट्रिसेस A और B पर विचार करें, जहाँ m पंक्तियों की संख्या है और n दो मैट्रिसेस के स्तंभों की संख्या है, जिन्हें A = [aij] और B = [bij] के रूप में दर्शाया गया है। अब, दो मैट्रिसेस A और B का अंतर इस प्रकार दिया गया है: A - B = [aij] - [bij] = [aij - bij], जहाँ ij ith पंक्ति और jth कॉलम में प्रत्येक तत्व की स्थिति को दर्शाता है। अंतर मैट्रिक्स का आयाम, अर्थात A - B भी 'm × n' है।
+आव्यूहों  का अंतर अर्थ आव्यूहों  का अंतर या आव्यूह अंतर केवल तभी संभव हो सकता है जब दोनों आव्यूहों  की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान हो। दो आव्यूहों  को घटाते समय, हम प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ के तत्वों को दूसरे आव्यूह की पंक्ति और स्तंभ के संगत तत्वों से घटाते हैं। एक ही क्रम '<math>m \times n</math>' के दो आव्यूहों   <math>A</math> और <math>B</math> पर विचार करें, जहाँ <math>m</math> पंक्तियों की संख्या है और <math>n</math> दो आव्यूहों  के स्तंभों की संख्या है, जिन्हें <math>A = [a_{ij}]</math> और <math>B = [b_{ij}]</math> के रूप में दर्शाया गया है। अब, दो आव्यूहों <math>A</math> और <math>B</math> का अंतर इस प्रकार दिया गया है: <math>A - B = [a_{ij}] - [b_{ij}] = [a_{ij} - b_{ij}],</math>जहाँ <math>ij</math> ,  <math>i</math>th पंक्ति और <math>j</math>th स्तंभ में प्रत्येक तत्व की स्थिति को दर्शाता है। अंतर आव्यूह का आयाम, अर्थात <math>A - B</math> भी '<math>m \times n</math>' है।
+<math>\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}&..&..&a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}&a_{23}&..&..&a_{2n} \\:&:&:&..&..&: \\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&..&..&a_{mn}\end{bmatrix}- \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}&..&..&b_{1n} \\ b_{21} & b_{22}&b_{23}&..&..&b_{2n} \\:&:&:&..&..&: \\ b_{m1}&b_{m2}&b_{m3}&..&..&b_{mn}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13}&..&..&a_{1n}-b_{1n} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22}&a_{23}-b_{23}&..&..&a_{2n}-b_{2n} \\:&:&:&..&..&: \\ a_{m1}-b_{m1}&a_{m2}-b_{m2}&a_{m3}-b_{m3}&..&..&a_{mn}-b_{mn}\end{bmatrix}</math>
+== 2 × 2 क्रम के आव्यूहों का घटाव ==
+जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूहों का अंतर तभी संभव है जब आव्यूहों में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर हो, इसलिए, 2 × 2 क्रम के आव्यूहों के अंतर के लिए, आव्यूहों में 2 पंक्तियाँ और 2 स्तंभ होने चाहिए। अब, 2 × 2 आयाम वाले दो आव्यूह A और B पर विचार करें। A से B को घटाने के लिए, हम B के तत्वों को A के संगत तत्वों से घटाएँगे। A (क्रम 2 × 2) से B को घटाने का सामान्य रूप है:
-== 2 × 2 क्रम के आव्यूहों का घटाव ==
-जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूहों का घटाव तभी संभव है जब आव्यूहों में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर हो, इसलिए, 2 × 2 क्रम के आव्यूहों के घटाव के लिए, आव्यूहों में 2 पंक्तियाँ और 2 स्तंभ होने चाहिए। अब, 2 × 2 आयाम वाले दो आव्यूह A और B पर विचार करें। A से B को घटाने के लिए, हम B के तत्वों को A के संगत तत्वों से घटाएँगे। A (क्रम 2 × 2) से B को घटाने का सामान्य रूप है:
-× 2 आयाम के मैट्रिक्स घटाव की अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए दो मैट्रिक्स A और B का उदाहरण लें, और A से B घटाएं।
+× 2 आयाम के आव्यूहअंतर की अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए दो आव्यूहA और B का उदाहरण लें, और A से B घटाएं।
-== 3 × 3 क्रम के मैट्रिसेस का घटाव ==
+== 3 × 3 क्रम के आव्यूहों  का घटाव ==
-× 3 मैट्रिसेस का मैट्रिक्स घटाव का तात्पर्य है कि एक दूसरे से घटाए जाने वाले मैट्रिसेस में 3 पंक्तियाँ और 3 कॉलम हैं। मैट्रिसेस घटाते समय, हम एक मैट्रिक्स के तत्वों को दूसरे मैट्रिक्स के संगत तत्वों से घटाते हैं। 3 × 3 क्रम के मैट्रिसेस A और B के घटाव का सामान्य रूप है:
+× 3 आव्यूहों  का आव्यूहअंतर का तात्पर्य है कि एक दूसरे से घटाए जाने वाले आव्यूहों  में 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं। आव्यूहों  घटाते समय, हम एक आव्यूहके तत्वों को दूसरे आव्यूहके संगत तत्वों से घटाते हैं। 3 × 3 क्रम के आव्यूहों  A और B के अंतर का सामान्य रूप है:
-कृपया ध्यान दें कि मैट्रिसेस के घटाव के लिए मैट्रिसेस का वर्गाकार मैट्रिसेस होना ज़रूरी नहीं है। यदि मैट्रिसेस का क्रम समान है, तो आयताकार मैट्रिसेस का मैट्रिक्स घटाव भी परिभाषित किया जाता है।
+कृपया ध्यान दें कि आव्यूहों  के अंतर के लिए आव्यूहों  का वर्गाकार आव्यूहों  होना ज़रूरी नहीं है। यदि आव्यूहों  का क्रम समान है, तो आयताकार आव्यूहों  का आव्यूहअंतर भी परिभाषित किया जाता है।
-== मैट्रिक्स घटाव के गुण ==
+== आव्यूहअंतर के गुण ==
-मैट्रिक्स के योग के लिए सभी प्रतिबंध मैट्रिक्स के घटाव पर भी लागू होते हैं। लेकिन कुछ ऐसे नियम हैं जिनका मैट्रिक्स घटाव संख्याओं के घटाव की तरह पालन नहीं करता है। मैट्रिक्स के घटाव के लिए इन सभी गुणों को धारण करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण आवश्यकता यह है कि मैट्रिक्स घटाव केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब मैट्रिक्स का क्रम समान हो।
+आव्यूहके योग के लिए सभी प्रतिबंध आव्यूहके अंतर पर भी लागू होते हैं। लेकिन कुछ ऐसे नियम हैं जिनका आव्यूहअंतर संख्याओं के अंतर की तरह पालन नहीं करता है। आव्यूहके अंतर के लिए इन सभी गुणों को धारण करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण आवश्यकता यह है कि आव्यूहअंतर केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब आव्यूहका क्रम समान हो।
-मैट्रिक्स घटाव के लिए पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होनी चाहिए।
+आव्यूहअंतर के लिए पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होनी चाहिए।
-मैट्रिक्स का घटाव क्रमविनिमेय नहीं है, अर्थात A - B ≠ B - A
+आव्यूहका अंतर क्रमविनिमेय नहीं है, अर्थात A - B ≠ B - A
-मैट्रिक्स का घटाव साहचर्य नहीं है, अर्थात (A - B) - C ≠ A - (B - C)
+आव्यूहका अंतर साहचर्य नहीं है, अर्थात (A - B) - C ≠ A - (B - C)
-मैट्रिक्स को स्वयं से घटाने पर एक शून्य मैट्रिक्स प्राप्त होता है, अर्थात A - A = O.
+आव्यूहको स्वयं से घटाने पर एक शून्य आव्यूहप्राप्त होता है, अर्थात A - A = O.
-मैट्रिक्स का घटाव एक मैट्रिक्स के ऋणात्मक को दूसरे मैट्रिक्स में जोड़ना है, अर्थात A - B = A + (-B)।
+आव्यूहका अंतर एक आव्यूहके ऋणात्मक को दूसरे आव्यूहमें जोड़ना है, अर्थात A - B = A + (-B)।
-== मैट्रिक्स के घटाव पर महत्वपूर्ण नोट्स ==
+== आव्यूहके अंतर पर महत्वपूर्ण नोट्स ==
-मैट्रिक्स का घटाव केवल तभी संभव है जब मैट्रिक्स का आयाम समान हो।
+आव्यूहका अंतर केवल तभी संभव है जब आव्यूहका आयाम समान हो।
-मैट्रिक्स का घटाव क्रमविनिमेय और साहचर्य नहीं है।
+आव्यूहका अंतर क्रमविनिमेय और साहचर्य नहीं है।
-मैट्रिक्स घटाव के लिए हम मैट्रिक्स के संगत तत्वों को घटाते हैं।
+आव्यूहअंतर के लिए हम आव्यूहके संगत तत्वों को घटाते हैं।
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