आव्यूहों का अंतर

आव्यूहों का अंतर दो या अधिक आव्यूहों के संगत तत्वों के घटाव को संदर्भित करता है। आव्यूह के आंकड़ों को पंक्तियों और स्तंभों के रूप में व्यवस्थित करने के लिए एक गणितीय प्रारूप है। आव्यूहों का अंतर तत्वानुसार आव्यूहों अंतर के माध्यम से किया जा सकता है। आव्यूहों पर अलग-अलग संचालन लागू किए जा सकते हैं जैसे जोड़, घटाव और गुणा। इस लेख में, हम मुख्य रूप से आव्यूह के अंतर के संचालन पर ध्यान केंद्रित करेंगे। आव्यूह का अंतर आव्यूह के संगत तत्वों को घटाने की एक प्रक्रिया है। आव्यूह का अंतर आव्यूह के जोड़ के समान तरीके से किया जाता है। आव्यूह जोड़ की बाधाएँ आव्यूह अंतर के लिए भी लागू होती हैं। आव्यूह का अंतर मात्र समान आकार के आव्यूह के लिए परिभाषित किया गया है। आइए उदाहरणों का उपयोग करके अवधारणा का विस्तार से पता लगाएं।

परिभाषा

आव्यूहों का अंतर एक ही कोटी के आव्यूहों के तत्वानुसार अंतर का एक संचालन है, यानी, ऐसे आव्यूहों जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है। यदि किसी आव्यूह में क्षैतिज पंक्तियों की संख्या '$m$' है और ऊर्ध्वाधर स्तंभों की संख्या '$n$' है, तो आव्यूह को '$m\times n$' आयाम वाला कहा जाता है। आव्यूहों के अंतर के लिए, घटाए जाने वाले आव्यूहों का उसी आयाम का होना आवश्यक है, जिस आयाम में हम आव्यूहों के संगत तत्वों को घटाते हैं।

आव्यूहों का अंतर अर्थ आव्यूहों का अंतर या आव्यूह अंतर केवल तभी संभव हो सकता है जब दोनों आव्यूहों की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान हो। दो आव्यूहों को घटाते समय, हम प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ के तत्वों को दूसरे आव्यूह की पंक्ति और स्तंभ के संगत तत्वों से घटाते हैं। एक ही कोटी '$m\times n$' के दो आव्यूहों $A$ और $B$ पर विचार करें, जहाँ $m$ पंक्तियों की संख्या है और $n$ दो आव्यूहों के स्तंभों की संख्या है, जिन्हें $A=[a_{ij}]$ और $B=[b_{ij}]$ के रूप में दर्शाया गया है। अब, दो आव्यूहों $A$ और $B$ का अंतर इस प्रकार दिया गया है: $A-B=[a_{ij}]-[b_{ij}]=[a_{ij}-b_{ij}],$जहाँ $ij$ , $i$th पंक्ति और $j$th स्तंभ में प्रत्येक तत्व की स्थिति को दर्शाता है। अंतर आव्यूह का आयाम, अर्थात $A-B$ भी '$m\times n$' है।

$={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&..&..&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&..&..&a_{2n}\\:&:&:&..&..&:\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&..&..&a_{mn}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}&..&..&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}&..&..&b_{2n}\\:&:&:&..&..&:\\b_{m1}&b_{m2}&b_{m3}&..&..&b_{mn}\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&a_{13}-b_{13}&..&..&a_{1n}-b_{1n}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&a_{23}-b_{23}&..&..&a_{2n}-b_{2n}\\:&:&:&..&..&:\\a_{m1}-b_{m1}&a_{m2}-b_{m2}&a_{m3}-b_{m3}&..&..&a_{mn}-b_{mn}\end{bmatrix}}$

2 × 2 कोटी के आव्यूहों का अंतर

जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूहों का अंतर तभी संभव है जब आव्यूहों में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर हो, इसलिए, $2\times 2$ कोटी के आव्यूहों के अंतर के लिए, आव्यूहों में $2$ पंक्तियाँ और $2$