आव्यूहों का अंतर: Difference between revisions

Revision as of 18:29, 29 November 2024

आव्यूहों का अंतर दो या अधिक आव्यूहों के संगत तत्वों के घटाव को संदर्भित करता है। आव्यूह डेटा को पंक्तियों और स्तंभों के रूप में व्यवस्थित करने के लिए एक गणितीय प्रारूप है। आव्यूहों का अंतर तत्वानुसार आव्यूहों अंतर के माध्यम से किया जा सकता है। आव्यूहों पर अलग-अलग संचालन लागू किए जा सकते हैं जैसे जोड़, घटाव और गुणा। इस लेख में, हम मुख्य रूप से आव्यूह के अंतर के संचालन पर ध्यान केंद्रित करेंगे। आव्यूह का अंतर आव्यूह के संगत तत्वों को घटाने की एक प्रक्रिया है। आव्यूह का अंतर आव्यूह के जोड़ के समान तरीके से किया जाता है। आव्यूह जोड़ की बाधाएँ आव्यूह अंतर के लिए भी लागू होती हैं। आव्यूह का अंतर मात्र समान आकार के आव्यूह के लिए परिभाषित किया गया है। आइए उदाहरणों का उपयोग करके अवधारणा का विस्तार से पता लगाएं।

परिभाषा

आव्यूहों का अंतर एक ही क्रम के आव्यूहों के तत्वानुसार अंतर का एक संचालन है, यानी, ऐसे आव्यूहों जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है। यदि किसी आव्यूह में क्षैतिज पंक्तियों की संख्या ' $m$ ' है और ऊर्ध्वाधर स्तंभों की संख्या ' $n$ ' है, तो आव्यूह को ' $m\times n$ ' आयाम वाला कहा जाता है। आव्यूहों के अंतर के लिए, घटाए जाने वाले आव्यूहों का उसी आयाम का होना आवश्यक है, जिस आयाम में हम आव्यूहों के संगत तत्वों को घटाते हैं।

आव्यूहों का अंतर अर्थ आव्यूहों का अंतर या आव्यूह अंतर केवल तभी संभव हो सकता है जब दोनों आव्यूहों की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान हो। दो आव्यूहों को घटाते समय, हम प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ के तत्वों को दूसरे आव्यूह की पंक्ति और स्तंभ के संगत तत्वों से घटाते हैं। एक ही क्रम ' $m\times n$ ' के दो आव्यूहों $A$ और $B$ पर विचार करें, जहाँ $m$ पंक्तियों की संख्या है और $n$ दो आव्यूहों के स्तंभों की संख्या है, जिन्हें $A=[a_{ij}]$ और $B=[b_{ij}]$ के रूप में दर्शाया गया है। अब, दो आव्यूहों $A$ और $B$ का अंतर इस प्रकार दिया गया है: $A-B=[a_{ij}]-[b_{ij}]=[a_{ij}-b_{ij}],$ जहाँ $ij$ , $i$ th पंक्ति और $j$ th स्तंभ में प्रत्येक तत्व की स्थिति को दर्शाता है। अंतर आव्यूह का आयाम, अर्थात $A-B$ भी ' $m\times n$ ' है।

$={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&..&..&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&..&..&a_{2n}\\:&:&:&..&..&:\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&..&..&a_{mn}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}&..&..&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}&..&..&b_{2n}\\:&:&:&..&..&:\\b_{m1}&b_{m2}&b_{m3}&..&..&b_{mn}\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&a_{13}-b_{13}&..&..&a_{1n}-b_{1n}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&a_{23}-b_{23}&..&..&a_{2n}-b_{2n}\\:&:&:&..&..&:\\a_{m1}-b_{m1}&a_{m2}-b_{m2}&a_{m3}-b_{m3}&..&..&a_{mn}-b_{mn}\end{bmatrix}}$

2 × 2 क्रम के आव्यूहों का अंतर

जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूहों का अंतर तभी संभव है जब आव्यूहों में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर हो, इसलिए, $2\times 2$ क्रम के आव्यूहों के अंतर के लिए, आव्यूहों में $2$ पंक्तियाँ और $2$ स्तंभ होने चाहिए। अब, $2\times 2$ आयाम वाले दो आव्यूह $A$ और $B$ पर विचार करें। $A$ से $B$ को घटाने के लिए, हम $B$ के तत्वों को $A$ के संगत तत्वों से घटाएँगे। $A$ (क्रम $2\times 2$ ) से $B$ को घटाने का सामान्य रूप है:

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}$ और $B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}$

$A-B={\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}\end{bmatrix}}$

$2\times 2$ आयाम के आव्यूह अंतर की अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए दो आव्यूह $A$ और $B$ का उदाहरण लें, और $A$ से $B$ घटाएं।

$A={\begin{bmatrix}12&-3\\2&15\end{bmatrix}}$ और $B={\begin{bmatrix}6&1\\11&-8\end{bmatrix}}$

$A-B={\begin{bmatrix}12-6&-3-1\\2-11&15-(-8))\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&-4\\-9&23\end{bmatrix}}$

3 × 3 क्रम के आव्यूहों का अंतर

$3\times 3$ आव्यूहों का आव्यूह अंतर का तात्पर्य है कि एक दूसरे से घटाए जाने वाले आव्यूहों में $3$ पंक्तियाँ और $3$ स्तंभ हैं। आव्यूहों घटाते समय, हम एक आव्यूहके तत्वों को दूसरे आव्यूहके संगत तत्वों से घटाते हैं। $3\times 3$ क्रम के आव्यूहों $A$ और $B$ के अंतर का सामान्य रूप है:

कृपया ध्यान दें कि आव्यूहों के अंतर के लिए आव्यूहों का वर्गाकार आव्यूहों होना ज़रूरी नहीं है। यदि आव्यूहों का क्रम समान है, तो आयताकार आव्यूहों का आव्यूहअंतर भी परिभाषित किया जाता है।

आव्यूह अंतर के गुणधर्म

आव्यूह के योग के लिए सभी प्रतिबंध आव्यूह के अंतर पर भी लागू होते हैं। लेकिन कुछ ऐसे नियम हैं जिनका आव्यूह अंतर संख्याओं के अंतर की तरह पालन नहीं करता है। आव्यूह के अंतर के लिए इन सभी गुणों को धारण करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण आवश्यकता यह है कि आव्यूह अंतर केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब आव्यूह का क्रम समान हो।

आव्यूह अंतर के लिए पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होनी चाहिए।
आव्यूह का अंतर क्रमविनिमेय नहीं है, अर्थात $A-B\neq B-A$
आव्यूह का अंतर साहचर्य नहीं है, अर्थात $(A-B)-C\neq A-(B-C)$
आव्यूह को स्वयं से घटाने पर एक शून्य आव्यूह प्राप्त होता है, अर्थात $A-A=O$ ।
आव्यूह का अंतर एक आव्यूह के ऋणात्मक को दूसरे आव्यू हमें जोड़ना है, अर्थात $A-B=A+(-B)$ ।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

आव्यूह का अंतर मात्र तभी संभव है जब आव्यूह का आयाम समान हो।
आव्यूह का अंतर क्रमविनिमेय और साहचर्य नहीं है।
आव्यूह अंतर के लिए हम आव्यूह के संगत तत्वों को घटाते हैं।

@@ Line 13: / Line 13: @@
 <math>=\begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13}&..&..&a_{1n}-b_{1n} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22}&a_{23}-b_{23}&..&..&a_{2n}-b_{2n} \\:&:&:&..&..&: \\ a_{m1}-b_{m1}&a_{m2}-b_{m2}&a_{m3}-b_{m3}&..&..&a_{mn}-b_{mn}\end{bmatrix}
 </math>
-== 2 × 2 क्रम के आव्यूहों का घटाव ==
+== 2 × 2 क्रम के आव्यूहों का अंतर ==
-जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूहों का अंतर तभी संभव है जब आव्यूहों में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर हो, इसलिए, 2 × 2 क्रम के आव्यूहों के अंतर के लिए, आव्यूहों में 2 पंक्तियाँ और 2 स्तंभ होने चाहिए। अब, 2 × 2 आयाम वाले दो आव्यूह A और B पर विचार करें। A से B को घटाने के लिए, हम B के तत्वों को A के संगत तत्वों से घटाएँगे। A (क्रम 2 × 2) से B को घटाने का सामान्य रूप है:
+जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूहों का अंतर तभी संभव है जब आव्यूहों में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर हो, इसलिए, <math>2 \times 2</math> क्रम के आव्यूहों के अंतर के लिए, आव्यूहों में <math>2 </math> पंक्तियाँ और <math>2 </math> स्तंभ होने चाहिए। अब, <math>2 \times 2</math> आयाम वाले दो आव्यूह <math>A</math> और <math>B</math> पर विचार करें। <math>A</math> से <math>B</math> को घटाने के लिए, हम <math>B</math> के तत्वों को <math>A</math> के संगत तत्वों से घटाएँगे। <math>A</math> (क्रम <math>2 \times 2</math>) से <math>B</math> को घटाने का सामान्य रूप है:
+<math>A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}</math> और   <math>B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}</math>
+<math>A-B=\begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} \end{bmatrix}</math>
-× 2 आयाम के आव्यूहअंतर की अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए दो आव्यूहA और B का उदाहरण लें, और A से B घटाएं।
+<math>2 \times 2</math> आयाम के आव्यूह अंतर की अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए दो आव्यूह  <math>A</math> और <math>B</math> का उदाहरण लें, और  <math>A</math> से <math>B</math> घटाएं।
+<math>A=\begin{bmatrix} 12 & -3 \\ 2 & 15 \end{bmatrix}</math>  और     <math>B=\begin{bmatrix} 6 & 1 \\ 11 & -8 \end{bmatrix}</math>
+<math>A-B=\begin{bmatrix} 12-6 & -3-1 \\ 2-11 & 15-(-8)) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ -9 & 23 \end{bmatrix}</math>
+== 3 × 3 क्रम के आव्यूहों  का अंतर ==
+<math>3  \times 3 </math> आव्यूहों  का आव्यूह अंतर का तात्पर्य है कि एक दूसरे से घटाए जाने वाले आव्यूहों  में <math>3 </math> पंक्तियाँ और <math>3 </math> स्तंभ हैं। आव्यूहों  घटाते समय, हम एक आव्यूहके तत्वों को दूसरे आव्यूहके संगत तत्वों से घटाते हैं। <math>3  \times 3 </math> क्रम के आव्यूहों  <math>A</math> और <math>B</math>  के अंतर का सामान्य रूप है:
-== 3 × 3 क्रम के आव्यूहों  का घटाव ==
-× 3 आव्यूहों  का आव्यूहअंतर का तात्पर्य है कि एक दूसरे से घटाए जाने वाले आव्यूहों  में 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं। आव्यूहों  घटाते समय, हम एक आव्यूहके तत्वों को दूसरे आव्यूहके संगत तत्वों से घटाते हैं। 3 × 3 क्रम के आव्यूहों  A और B के अंतर का सामान्य रूप है:
@@ Line 28: / Line 33: @@
 कृपया ध्यान दें कि आव्यूहों  के अंतर के लिए आव्यूहों  का वर्गाकार आव्यूहों  होना ज़रूरी नहीं है। यदि आव्यूहों  का क्रम समान है, तो आयताकार आव्यूहों  का आव्यूहअंतर भी परिभाषित किया जाता है।
-== आव्यूहअंतर के गुण ==
+== आव्यूह अंतर के गुणधर्म ==
-आव्यूहके योग के लिए सभी प्रतिबंध आव्यूहके अंतर पर भी लागू होते हैं। लेकिन कुछ ऐसे नियम हैं जिनका आव्यूहअंतर संख्याओं के अंतर की तरह पालन नहीं करता है। आव्यूहके अंतर के लिए इन सभी गुणों को धारण करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण आवश्यकता यह है कि आव्यूह अंतर केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब आव्यूहका क्रम समान हो।
+आव्यूह के योग के लिए सभी प्रतिबंध आव्यूह के अंतर पर भी लागू होते हैं। लेकिन कुछ ऐसे नियम हैं जिनका आव्यूह अंतर संख्याओं के अंतर की तरह पालन नहीं करता है। आव्यूह के अंतर के लिए इन सभी गुणों को धारण करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण आवश्यकता यह है कि आव्यूह अंतर केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब आव्यूह का क्रम समान हो।
-* आव्यूहअंतर के लिए पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होनी चाहिए।
+* आव्यूह अंतर के लिए पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होनी चाहिए।
-* आव्यूहका अंतर क्रमविनिमेय नहीं है, अर्थात A - B ≠ B - A
+* आव्यूह का अंतर क्रमविनिमेय नहीं है, अर्थात <math>A - B \neq B - A</math>
-* आव्यूहका अंतर साहचर्य नहीं है, अर्थात (A - B) - C ≠ A - (B - C)
+* आव्यूह का अंतर साहचर्य नहीं है, अर्थात <math>(A - B) - C \neq A - (B - C)</math>
-* आव्यूहको स्वयं से घटाने पर एक शून्य आव्यूहप्राप्त होता है, अर्थात A - A = O.
+* आव्यूह को स्वयं से घटाने पर एक शून्य आव्यूह प्राप्त होता है, अर्थात <math>A - A = O</math> ।
-* आव्यूहका अंतर एक आव्यूहके ऋणात्मक को दूसरे आव्यूहमें जोड़ना है, अर्थात A - B = A + (-B)।
+* आव्यूह का अंतर एक आव्यूह के ऋणात्मक को दूसरे आव्यू हमें जोड़ना है, अर्थात <math>A - B = A + (-B)</math>।
-== आव्यूह के अंतर पर महत्वपूर्ण नोट्स ==
+== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
-* आव्यूह का अंतर केवल तभी संभव है जब आव्यूह का आयाम समान हो।
+* आव्यूह का अंतर मात्र तभी संभव है जब आव्यूह का आयाम समान हो।
 * आव्यूह का अंतर क्रमविनिमेय और साहचर्य नहीं है।
 * आव्यूह अंतर के लिए हम आव्यूह के संगत तत्वों को घटाते हैं।
 [[Category:आव्यूह]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]