आव्यूह की कोटि: Difference between revisions

Latest revision as of 21:58, 29 November 2024

आव्यूह की कोटि, आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या को दर्शाता है। आव्यूह पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित तत्वों की एक सरणी है, और आव्यूह की कोटी आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की गिनती प्राप्त करने में सहायता करता है। इसके अतिरिक्त, आव्यूह की कोटी आव्यूह के प्रकार और आव्यूह में तत्वों की कुल संख्या जानने में सहायता करता है।

आव्यूह की कोटी एक महत्वपूर्ण पहलू है जो यह तय करने में सहायता करता है कि क्या कोई विशेष अंकगणितीय संक्रिया दो आव्यूहों में किया जा सकता है। यहाँ, आव्यूह के कोटी के आधार पर, हम विभिन्न प्रकार के आव्यूहों और विभिन्न अंकगणितीय संक्रियाओं के बारे में जान सकते हैं जिन्हें आव्यूहों में किया जा सकता है।

आव्यूह की कोटी आव्यूह का आयाम देता है, और यह आव्यूह में उपस्थित पंक्तियों और स्तंभों की संख्या को सूचित करता है। आव्यूह की कोटी साधारणतः $A_{m\times n}$ के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ $m$ पंक्तियों की संख्या है, और $n$ दिए गए आव्यूह में स्तंभों की संख्या है। साथ ही, आव्यूह के कोटी $(m\times n)$ का गुणन उत्तर आव्यूह में तत्वों की संख्या देता है।

$A_{m\times m}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&..&..&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&..&..&a_{2n}\\:&:&:&..&..&:\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&..&..&a_{mn}\end{bmatrix}}$

उपरोक्त आव्यूह में, हम पंक्तियों की $m$ संख्या और स्तंभों की $n$ संख्या देख सकते हैं। आव्यूह के कोटी में पहली संख्या सदैव पंक्तियों की संख्या को दर्शाती है, और आव्यूह के कोटी में दूसरी संख्या सदैव आव्यूह में स्तंभों की संख्या को दर्शाती है।

आव्यूह के कोटी के आधार पर आव्यूह के प्रकार

आव्यूह की कोटी आव्यूह के आयाम देता है, और यह विभिन्न प्रकार के आव्यूह को परिभाषित करता है। आइए कुछ विभिन्न प्रकार के आव्यूह के कोटी की जाँच करें।

पंक्ति आव्यूह का क्रम: पंक्ति आव्यूह में एक पंक्ति और कई स्तंभ होते हैं। इसलिए पंक्ति आव्यूह की कोटी $1\times n$ के रूप का होता है।

$A_{1\times n}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}&..&..&a_{n}\end{bmatrix}}$

स्तंभ आव्यूह का क्रम: स्तंभ आव्यूह में एक स्तंभ और कई पंक्तियाँ होती हैं। इसलिए स्तंभ आव्यूह की कोटी $n\times 1$ है।

$A_{n\times 1}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\:\\:\\a_{n}\end{bmatrix}}$

वर्ग आव्यूह का क्रम: जैसा कि नाम से पता चलता है, एक वर्ग आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होती है। इसलिए एक वर्ग आव्यूह की कोटी $n\times n$ के रूप का होता है। यहाँ हमारे पास नीचे दिए गए आव्यूह में $3$ पंक्तियों और $3$ स्तंभों की बराबर संख्या है।

$A_{3\times 3}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}$

आयताकार आव्यूह का क्रम: एक आयताकार आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या असमान होती है और इसलिए एक आयताकार आव्यूह की कोटी $m\times n$ के रूप का होता है। यहाँ नीचे दिए गए आव्यूह में, हमारे पास $2$ पंक्तियाँ और $3$ स्तंभ हैं।

$A_{2\times 3}={\begin{bmatrix}a&b&c\\&&\\d&e&f\end{bmatrix}}$

आव्यूह के परिवर्त का क्रम: आव्यूह का परिवर्त इसकी पंक्तियों को स्तंभ में और इसके स्तंभ को पंक्तियों में बदलकर प्राप्त किया जाता है। कोटी $m\times n$ के आव्यूह के लिए, दिए गए आव्यूह के परिवर्त की कोटी $n\times m$ है। यहाँ दिए गए आव्यूह में $2$ पंक्तियाँ और $3$ स्तंभ हैं, और इस आव्यूह के परिवर्त में $3$ पंक्तियाँ और $2$ स्तंभ हैं।

$A_{2\times 3}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}},A_{3\times 2}^{T}={\begin{bmatrix}a&d\\b&e\\c&f\end{bmatrix}}$

विभिन्न आव्यूह संचालन के लिए आव्यूह का क्रम

आव्यूह की कोटी आव्यूह के प्रकार को संदर्भित करता है। इसके अतिरिक्त आव्यूह के कई अंकगणितीय संचालन संदर्भित आव्यूह के कोटी पर आधारित होते हैं। आइए देखें कि आव्यूह के कोटी के आधार पर आव्यूह पर निम्नलिखित संचालन कैसे किए जाते हैं।

आव्यूहों का जोड़ और घटाव: दो आव्यूहों के जोड़ या घटाव के लिए, दोनों आव्यूहों की कोटी बराबर होना चाहिए। दोनों आव्यूहों में पंक्तियों की संख्या बराबर होनी चाहिए, और दोनों आव्यूहों में स्तंभ की संख्या भी बराबर होनी चाहिए। आइए इसे एक सरल उदाहरण से समझते हैं।

${\begin{bmatrix}2&-1&3\\&&\\0&5&2\end{bmatrix}}_{2\times 3}+{\begin{bmatrix}0&2&7\\&&\\1&-2&9\end{bmatrix}}_{2\times 3}$

$={\begin{bmatrix}2+0&-1+&3+7\\&&\\0+1&5+(-2)&2+9\end{bmatrix}}_{2\times 3}$

$={\begin{bmatrix}2&1&10\\&&\\1&3&11\end{bmatrix}}_{2\times 3}$

यहाँ परिणामी आव्यूह के तत्वों को प्राप्त करने के लिए दोनों आव्यूहों के संगत तत्वों को जोड़ा जाता है, और इसलिए दोनों आव्यूहों के तत्वों की संख्या और कोटी बराबर होना चाहिए। आव्यूहों के उपरोक्त योग में दोनों आव्यूहों की कोटी $2\times 3$ है।

आव्यूहों का गुणन: आव्यूहों के गुणन में आव्यूह के कोटी की एक विशेष शर्त उपस्थित होती है। गुणन के लिए पहले आव्यूह में स्तंभ की संख्या दूसरे आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। इसके अतिरिक्त, परिणामी आव्यूह की कोटी पहले आव्यूह की पंक्तियों की संख्या और दूसरे आव्यूह के स्तंभ की संख्या के बराबर होता है।

$AB={\begin{bmatrix}1&2&3\\&&\\3&1&0\end{bmatrix}}_{2\times 3}\times {\begin{bmatrix}1&4\\3&-1\\2&-3\end{bmatrix}}_{3\times 2}$

$={\begin{bmatrix}1\times 1+2\times 3+3\times 2&1\times 4+2\times (-1)+3\times (-3)\\3\times 1+1\times 3+0\times 2&3\times 4+1\times \times (-1)+0\times (-3)\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}13&-7\\6&11\end{bmatrix}}_{2\times 2}$

उपरोक्त उदाहरण में, पहले आव्यूह में स्तंभ की संख्या और दूसरे आव्यूह में पंक्तियों की संख्या $3$ के बराबर है। और परिणामी आव्यूह का कोटी $2\times 2$

है क्योंकि इसमें $2$ पंक्तियाँ हैं (जो पहले आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर है) और $2$ स्तंभ हैं (जो दूसरे आव्यूह में स्तंभ की संख्या के बराबर है)।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

निम्नलिखित वर्णन आव्यूह के कोटी के बारे में सीखे गए कुछ मुख्य टिप्पणियों का सारांश देते हैं।

आव्यूह $m\times n$ के कोटी में, पहली संख्या $m$ सदैव पंक्तियों की संख्या को दर्शाती है, और दूसरी संख्या $n$ सदैव स्तंभों की संख्या को दर्शाती है।
दो आव्यूह के जोड़ और घटाव के लिए, आव्यूह की कोटी बराबर होना चाहिए।
दो आव्यूह के गुणन के लिए, पहले आव्यूह में स्तंभों की संख्या पहले आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
दो आव्यूह के गुणन में, परिणामी आव्यूह की कोटी ऐसा होता है कि पंक्तियों की संख्या पहले आव्यूह के बराबर होती है, और स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह के बराबर होती है।

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-मैट्रिक्स का क्रम मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या को दर्शाता है। मैट्रिक्स पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित तत्वों की एक सरणी है, और मैट्रिक्स का क्रम मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की गिनती प्राप्त करने में मदद करता है। इसके अलावा, मैट्रिक्स का क्रम मैट्रिक्स के प्रकार और मैट्रिक्स में तत्वों की कुल संख्या जानने में मदद करता है।
+आव्यूह की कोटि, आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या को दर्शाता है। आव्यूह पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित तत्वों की एक सरणी है, और आव्यूह की कोटी आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की गिनती प्राप्त करने में सहायता करता है। इसके अतिरिक्त, आव्यूह की कोटी आव्यूह के प्रकार और आव्यूह में तत्वों की कुल संख्या जानने में सहायता करता है।
-मैट्रिक्स का क्रम एक महत्वपूर्ण पहलू है जो यह तय करने में मदद करता है कि क्या कोई विशेष अंकगणितीय ऑपरेशन दो मैट्रिसेस में किया जा सकता है। यहाँ, मैट्रिक्स के क्रम के आधार पर, हम विभिन्न प्रकार के मैट्रिसेस और विभिन्न अंकगणितीय ऑपरेशनों के बारे में जान सकते हैं जिन्हें मैट्रिसेस में किया जा सकता है।
+[[आव्यूह]] की कोटी एक महत्वपूर्ण पहलू है जो यह तय करने में सहायता करता है कि क्या कोई विशेष  अंकगणितीय संक्रिया दो आव्यूहों में किया जा सकता है। यहाँ, आव्यूह के कोटी के आधार पर, हम विभिन्न प्रकार के आव्यूहों और विभिन्न  अंकगणितीय संक्रियाओं  के बारे में जान सकते हैं जिन्हें आव्यूहों में किया जा सकता है।
-मैट्रिक्स का क्रम मैट्रिक्स का आयाम देता है, और यह मैट्रिक्स में मौजूद पंक्तियों और स्तंभों की संख्या को सूचित करता है। मैट्रिक्स का क्रम आम तौर पर Am × n के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ m पंक्तियों की संख्या है, और n दिए गए मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या है। साथ ही, मैट्रिक्स के क्रम (m × n) का गुणन उत्तर मैट्रिक्स में तत्वों की संख्या देता है।
+आव्यूह की कोटी आव्यूह का आयाम देता है, और यह आव्यूह में उपस्थित पंक्तियों और स्तंभों की संख्या को सूचित करता है। आव्यूह की कोटी साधारणतः  <math>A_{m \times n}</math> के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ <math>m</math> पंक्तियों की संख्या है, और <math>n </math> दिए गए आव्यूह में स्तंभों की संख्या है। साथ ही, आव्यूह के कोटी <math>(m \times n)</math> का गुणन उत्तर आव्यूह में तत्वों की संख्या देता है।
+<math>A_{m\times m}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}&..&..&a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}&a_{23}&..&..&a_{2n} \\:&:&:&..&..&: \\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&..&..&a_{mn}\end{bmatrix}</math>
-उपरोक्त मैट्रिक्स में, हम पंक्तियों की m संख्या और स्तंभों की n संख्या देख सकते हैं। मैट्रिक्स के क्रम में पहली संख्या हमेशा पंक्तियों की संख्या को दर्शाती है, और मैट्रिक्स के क्रम में दूसरी संख्या हमेशा मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या को दर्शाती है।
+उपरोक्त आव्यूह में, हम पंक्तियों की <math>m</math> संख्या और स्तंभों की <math>n </math> संख्या देख सकते हैं। आव्यूह के कोटी में पहली संख्या सदैव  पंक्तियों की संख्या को दर्शाती है, और आव्यूह के कोटी में दूसरी संख्या सदैव आव्यूह में स्तंभों की [[संख्या]] को दर्शाती है।
-== मैट्रिक्स के क्रम के आधार पर मैट्रिक्स के प्रकार ==
+== आव्यूह के कोटी के आधार पर आव्यूह के प्रकार ==
-मैट्रिक्स का क्रम मैट्रिक्स के आयाम देता है, और यह विभिन्न प्रकार के मैट्रिक्स को परिभाषित करता है। आइए कुछ विभिन्न प्रकार के मैट्रिक्स के क्रम की जाँच करें।
+आव्यूह की कोटी आव्यूह के आयाम देता है, और यह विभिन्न प्रकार के आव्यूह को परिभाषित करता है। आइए कुछ विभिन्न प्रकार के आव्यूह के कोटी की जाँच करें।
-पंक्ति मैट्रिक्स का क्रम: एक पंक्ति मैट्रिक्स में एक पंक्ति और कई कॉलम होते हैं। इसलिए पंक्ति मैट्रिक्स का क्रम 1 × n के रूप का होता है।
+'''पंक्ति आव्यूह का क्रम''':  पंक्ति आव्यूह में एक पंक्ति और कई स्तंभ होते हैं। इसलिए पंक्ति आव्यूह की कोटी <math>1 \times n</math> के रूप का होता है।
+<math>A_{1\times n}=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 &a_3& a_4&..&..&a_n  \end{bmatrix}</math>
-कॉलम मैट्रिक्स का क्रम: एक कॉलम मैट्रिक्स में एक कॉलम और कई पंक्तियाँ होती हैं। इसलिए कॉलम मैट्रिक्स का क्रम n × 1 है।
+'''स्तंभ   आव्यूह का क्रम''':  स्तंभ आव्यूह में एक स्तंभ और कई पंक्तियाँ होती हैं। इसलिए स्तंभ आव्यूह की कोटी <math>n \times 1</math> है।
-स्क्वायर मैट्रिक्स का क्रम: जैसा कि नाम से पता चलता है, एक स्क्वायर मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होती है। इसलिए एक स्क्वायर मैट्रिक्स का क्रम n × n के रूप का होता है। यहाँ हमारे पास नीचे दिए गए मैट्रिक्स में 3 पंक्तियों और 3 स्तंभों की बराबर संख्या है।
-आयताकार मैट्रिक्स का क्रम: एक आयताकार मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या असमान होती है और इसलिए एक आयताकार मैट्रिक्स का क्रम m × n के रूप का होता है। यहाँ नीचे दिए गए मैट्रिक्स में, हमारे पास 2 पंक्तियाँ और 3 कॉलम हैं।
+<math>A_{n\times 1}=\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\: \\:\\a_n \end{bmatrix}</math>
+'''वर्ग आव्यूह का क्रम''': जैसा कि नाम से पता चलता है, एक वर्ग आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होती है। इसलिए एक वर्ग आव्यूह की कोटी <math>n \times n</math> के रूप का होता है। यहाँ हमारे पास नीचे दिए गए आव्यूह में <math>3 </math> पंक्तियों और <math>3</math> स्तंभों की बराबर संख्या है।
-ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स का क्रम: मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़ इसकी पंक्तियों को कॉलम में और इसके कॉलम को पंक्तियों में बदलकर प्राप्त किया जाता है। क्रम m × n के मैट्रिक्स के लिए, दिए गए मैट्रिक्स के ट्रांसपोज़ का क्रम n × m है। यहाँ दिए गए मैट्रिक्स में 2 पंक्तियाँ और 3 कॉलम हैं, और इस मैट्रिक्स के ट्रांसपोज़ में 3 पंक्तियाँ और 2 कॉलम हैं।
+<math>A_{3\times 3}=\begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e &f \\ g&h&i\end{bmatrix}</math>
-== विभिन्न मैट्रिक्स ऑपरेशन के लिए मैट्रिक्स का क्रम ==
+'''आयताकार आव्यूह का क्रम''': एक आयताकार आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या असमान होती है और इसलिए एक आयताकार आव्यूह की कोटी <math>m \times n</math> के रूप का होता है। यहाँ नीचे दिए गए आव्यूह में, हमारे पास <math>2 </math> पंक्तियाँ और <math>3 </math> स्तंभ   हैं।
-मैट्रिक्स का क्रम मैट्रिक्स के प्रकार को संदर्भित करता है। इसके अलावा मैट्रिक्स के कई अंकगणितीय ऑपरेशन संदर्भित मैट्रिक्स के क्रम पर आधारित होते हैं। आइए देखें कि मैट्रिक्स के क्रम के आधार पर मैट्रिक्स पर निम्नलिखित ऑपरेशन कैसे किए जाते हैं।
-मैट्रिसेस का जोड़ और घटाव: दो मैट्रिसेस के जोड़ या घटाव के लिए, दोनों मैट्रिसेस का क्रम बराबर होना चाहिए। दोनों मैट्रिसेस में पंक्तियों की संख्या बराबर होनी चाहिए, और दोनों मैट्रिसेस में कॉलम की संख्या भी बराबर होनी चाहिए। आइए इसे एक सरल उदाहरण से समझते हैं।
+<math>A_{2\times 3}=\begin{bmatrix} a & b & c\\ & & \\ d&e&f\end{bmatrix}</math>
-यहाँ परिणामी मैट्रिक्स के तत्वों को प्राप्त करने के लिए दोनों मैट्रिसेस के संगत तत्वों को जोड़ा जाता है, और इसलिए दोनों मैट्रिसेस के तत्वों की संख्या और क्रम बराबर होना चाहिए। मैट्रिसेस के उपरोक्त योग में दोनों मैट्रिसेस का क्रम 2 × 3 है।
-मैट्रिसेस का गुणन: मैट्रिसेस के गुणन में मैट्रिक्स के क्रम की एक विशेष शर्त शामिल होती है। गुणन के लिए पहले मैट्रिक्स में कॉलम की संख्या दूसरे मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। इसके अलावा, परिणामी मैट्रिक्स का क्रम पहले मैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या और दूसरे मैट्रिक्स के कॉलम की संख्या के बराबर होता है।
+'''आव्यूह के परिवर्त का क्रम:''' [[आव्यूह का परिवर्त]] इसकी पंक्तियों को स्तंभ में और इसके स्तंभ को पंक्तियों में बदलकर प्राप्त किया जाता है। कोटी <math>m \times n</math> के आव्यूह के लिए, दिए गए आव्यूह के परिवर्त की कोटी <math>n \times m </math> है। यहाँ दिए गए आव्यूह में <math>2 </math> पंक्तियाँ और <math>3 </math> स्तंभ हैं, और इस आव्यूह के परिवर्त में <math>3 </math> पंक्तियाँ और <math>2 </math> स्तंभ   हैं।
-उपरोक्त उदाहरण में, पहले मैट्रिक्स में कॉलम की संख्या और दूसरे मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या 3 के बराबर है। और परिणामी मैट्रिक्स का क्रम 2 × 2 है क्योंकि इसमें 2 पंक्तियाँ हैं (जो पहले मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या के बराबर है) और 2 कॉलम हैं (जो दूसरे मैट्रिक्स में कॉलम की संख्या के बराबर है)।
+<math>A_{2\times 3}=\begin{bmatrix} a & b & c \\ d&e&f\end{bmatrix},A_{3\times 2}^T=\begin{bmatrix} a & d \\ b & e \\ c&f \end{bmatrix}</math>
-== मैट्रिक्स के क्रम पर महत्वपूर्ण नोट्स: ==
+== विभिन्न आव्यूह संचालन के लिए आव्यूह का क्रम ==
-निम्नलिखित बिंदु मैट्रिक्स के क्रम के बारे में सीखे गए कुछ मुख्य बिंदुओं का सारांश देते हैं।
+आव्यूह की कोटी आव्यूह के प्रकार को संदर्भित करता है। इसके अतिरिक्त आव्यूह के कई अंकगणितीय संचालन संदर्भित आव्यूह के कोटी पर आधारित होते हैं। आइए देखें कि आव्यूह के कोटी के आधार पर आव्यूह पर निम्नलिखित संचालन कैसे किए जाते हैं।
-मैट्रिक्स m × n के क्रम में, पहली संख्या m हमेशा पंक्तियों की संख्या को दर्शाती है, और दूसरी संख्या n हमेशा स्तंभों की संख्या को दर्शाती है।
+'''आव्यूहों का जोड़ और घटाव''': दो आव्यूहों के जोड़ या घटाव के लिए, दोनों आव्यूहों की कोटी बराबर होना चाहिए। दोनों आव्यूहों में पंक्तियों की संख्या बराबर होनी चाहिए, और दोनों आव्यूहों में स्तंभ की संख्या भी बराबर होनी चाहिए। आइए इसे एक सरल उदाहरण से समझते हैं।
-दो मैट्रिक्स के जोड़ और घटाव के लिए, मैट्रिक्स का क्रम बराबर होना चाहिए।
+<math>\begin{bmatrix} 2 & -1& 3\\ & & \\ 0&5&2\end{bmatrix}_{2\times3} + \begin{bmatrix} 0 & 2& 7\\ & & \\ 1&-2&9\end{bmatrix}_{2\times3}</math>
-दो मैट्रिक्स के गुणन के लिए, पहले मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या पहले मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
+<math>=\begin{bmatrix} 2+0 & -1+& 3+7\\ & & \\ 0+1&5+(-2)&2+9\end{bmatrix}_{2\times3}</math>
+<math>=\begin{bmatrix} 2 & 1& 10\\ & & \\ 1&3&11\end{bmatrix}_{2\times3}</math>
+यहाँ परिणामी आव्यूह के तत्वों को प्राप्त करने के लिए दोनों आव्यूहों के संगत तत्वों को जोड़ा जाता है, और इसलिए दोनों आव्यूहों के तत्वों की संख्या और कोटी बराबर होना चाहिए। आव्यूहों के उपरोक्त योग में दोनों आव्यूहों की कोटी <math>2 \times 3</math> है।
+'''आव्यूहों का गुणन''': आव्यूहों के गुणन में आव्यूह के कोटी की एक विशेष शर्त उपस्थित होती है। गुणन के लिए पहले आव्यूह में स्तंभ की संख्या दूसरे आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। इसके अतिरिक्त, परिणामी आव्यूह की कोटी पहले आव्यूह की पंक्तियों की संख्या और दूसरे आव्यूह के स्तंभ की संख्या के बराबर होता है।
+<math>AB= \begin{bmatrix} 1 & 2& 3\\ & & \\ 3&1&0\end{bmatrix}_{2\times3} \times \begin{bmatrix} 1 & 4\\  3&-1\\2&-3 \end{bmatrix}_{3\times2}</math>
+<math>= \begin{bmatrix} 1\times 1+2\times 3+3\times 2 & 1\times4+2\times(-1)+3\times(-3)\\ 3\times1+1\times3+0\times2 &  3\times4+1\times\times(-1)+0\times(-3) \end{bmatrix}</math>
+<math>=\begin{bmatrix} 13 & -7 \\ 6 & 11 \end{bmatrix}_{2\times 2}</math>
+उपरोक्त उदाहरण में, पहले आव्यूह में स्तंभ की संख्या और दूसरे आव्यूह में पंक्तियों की संख्या <math>3 </math> के बराबर है। और परिणामी आव्यूह का कोटी <math>2 \times 2</math>
+है क्योंकि इसमें <math>2 </math> पंक्तियाँ हैं (जो पहले आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर है) और <math>2 </math> स्तंभ हैं (जो दूसरे आव्यूह में स्तंभ की संख्या के बराबर है)।
+== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
+निम्नलिखित वर्णन आव्यूह के कोटी के बारे में सीखे गए कुछ मुख्य टिप्पणियों का सारांश देते हैं।
+* आव्यूह<math>m \times n</math> के कोटी में, पहली संख्या <math>m </math> सदैव पंक्तियों की संख्या को दर्शाती है, और दूसरी संख्या <math>n </math> सदैव  स्तंभों की संख्या को दर्शाती है।
+* दो आव्यूह के जोड़ और घटाव के लिए, आव्यूह की कोटी बराबर होना चाहिए।
+* दो आव्यूह के गुणन के लिए, पहले आव्यूह में स्तंभों की संख्या पहले आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
+* दो आव्यूह के गुणन में, परिणामी आव्यूह की कोटी ऐसा होता है कि पंक्तियों की संख्या पहले आव्यूह के बराबर होती है, और स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह के बराबर होती है।
-दो मैट्रिक्स के गुणन में, परिणामी मैट्रिक्स का क्रम ऐसा होता है कि पंक्तियों की संख्या पहले मैट्रिक्स के बराबर होती है, और स्तंभों की संख्या दूसरे मैट्रिक्स के बराबर होती है।
 [[Category:आव्यूह]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]