आव्यूह की कोटि

आव्यूह की कोटि, आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या को दर्शाता है। आव्यूह पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित तत्वों की एक सरणी है, और आव्यूह की कोटी आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की गिनती प्राप्त करने में सहायता करता है। इसके अतिरिक्त, आव्यूह की कोटी आव्यूह के प्रकार और आव्यूह में तत्वों की कुल संख्या जानने में सहायता करता है।

आव्यूह की कोटी एक महत्वपूर्ण पहलू है जो यह तय करने में सहायता करता है कि क्या कोई विशेष अंकगणितीय संक्रिया दो आव्यूहों में किया जा सकता है। यहाँ, आव्यूह के कोटी के आधार पर, हम विभिन्न प्रकार के आव्यूहों और विभिन्न अंकगणितीय संक्रियाओं के बारे में जान सकते हैं जिन्हें आव्यूहों में किया जा सकता है।

आव्यूह की कोटी आव्यूह का आयाम देता है, और यह आव्यूह में उपस्थित पंक्तियों और स्तंभों की संख्या को सूचित करता है। आव्यूह की कोटी साधारणतः $A_{m\times n}$ के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ $m$ पंक्तियों की संख्या है, और $n$ दिए गए आव्यूह में स्तंभों की संख्या है। साथ ही, आव्यूह के कोटी $(m\times n)$ का गुणन उत्तर आव्यूह में तत्वों की संख्या देता है।

$A_{m\times m}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&..&..&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&..&..&a_{2n}\\:&:&:&..&..&:\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&..&..&a_{mn}\end{bmatrix}}$

उपरोक्त आव्यूह में, हम पंक्तियों की $m$ संख्या और स्तंभों की $n$ संख्या देख सकते हैं। आव्यूह के कोटी में पहली संख्या सदैव पंक्तियों की संख्या को दर्शाती है, और आव्यूह के कोटी में दूसरी संख्या सदैव आव्यूह में स्तंभों की संख्या को दर्शाती है।

आव्यूह के कोटी के आधार पर आव्यूह के प्रकार

आव्यूह की कोटी आव्यूह के आयाम देता है, और यह विभिन्न प्रकार के आव्यूह को परिभाषित करता है। आइए कुछ विभिन्न प्रकार के आव्यूह के कोटी की जाँच करें।

पंक्ति आव्यूह का क्रम: पंक्ति आव्यूह में एक पंक्ति और कई स्तंभ होते हैं। इसलिए पंक्ति आव्यूह की कोटी $1\times n$ के रूप का होता है।

$A_{1\times n}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}&..&..&a_{n}\end{bmatrix}}$

स्तंभ आव्यूह का क्रम: स्तंभ आव्यूह में एक स्तंभ और कई पंक्तियाँ होती हैं। इसलिए स्तंभ आव्यूह की कोटी $n\times 1$ है।

$A_{n\times 1}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\:\\:\\a_{n}\end{bmatrix}}$

वर्ग आव्यूह का क्रम: जैसा कि नाम से पता चलता है, एक वर्ग आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होती है। इसलिए एक वर्ग आव्यूह की कोटी $n\times n$ के रूप का होता है। यहाँ हमारे पास नीचे दिए गए आव्यूह में $3$ पंक्तियों और $3$ स्तंभों की बराबर संख्या है।

$A_{3\times 3}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}$

आयताकार आव्यूह का क्रम: एक आयताकार आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या असमान होती है और इसलिए एक आयताकार आव्यूह की कोटी $m\times n$ के रूप का होता है। यहाँ नीचे दिए गए आव्यूह में, हमारे पास $2$ पंक्तियाँ और $3$ स्तंभ हैं।

$A_{2\times 3}={\begin{bmatrix}a&b&c\\&&\\d&e&f\end{bmatrix}}$

आव्यूह के परिवर्त का क्रम: आव्यूह का परिवर्त इसकी पंक्तियों को स्तंभ में और इसके स्तंभ को पंक्तियों में बदलकर प्राप्त किया जाता है। कोटी $m\times n$ के आव्यूह के लिए, दिए गए आव्यूह के परिवर्त की कोटी $n\times m$ है। यहाँ दिए गए आव्यूह में $2$ पंक्तियाँ और $3$ स्तंभ हैं, और इस आव्यूह के परिवर्त में $3$ पंक्तियाँ और $2$ स्तंभ हैं।

$A_{2\times 3}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}},A_{3\times 2}^{T}={\begin{bmatrix}a&d\\b&e\\c&f\end{bmatrix}}$