द्वितीय कोटि का अवकलज: Difference between revisions

Latest revision as of 16:10, 2 December 2024

अवकलज आपको किसी भी बिंदु पर फलन की ढलान प्रदान करता है। किसी फलन के पहले अवकलज के अवकलन को दूसरे कोटि के अवकलज के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए स्थान पर स्पर्शरेखा की ढलान, या उस स्थिति पर फलन के परिवर्तन की तात्कालिक दर, उस बिंदु पर पहले कोटि के अवकलज द्वारा निर्धारित की जाती है। द्वितीय-कोटि अवकलज हमें फलन के आलेख के आकार की समझ प्रदान करता है। फलन $f(x)$ के दूसरे अवकलज को साधारणतः $f''(x)$ के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। यदि $y=f,$ तो इसे कभी-कभी $d^{2}y$ या $y^{2}$ या $y''(x)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

परिभाषा

किसी फलन का दूसरा-कोटि अवकलज विचाराधीन फलन के पहले अवकलज के अवकलज से अधिक कुछ नहीं है। परिणाम स्वरूप , दूसरे अवकलज की गणना करके, जो समय के संबंध में गति में परिवर्तन की दर है, कार की गति में बदलाव (समय के संबंध में यात्रा की गई दूरी का दूसरा अवकलज ) निर्धारित करना संभव है।

चलिए मान लेते हैं $y=f\cdot (x)$

${dy \over dx}=f'$ तब $(x)$

यदि $f'(x)$ अवकलनीय है, तो हम इसे ' $x$ ' के सापेक्ष एक बार फिर अवकलित कर सकते हैं। इस प्रकार बायाँ भाग ${d \over dx}\left({\frac {dy}{dx}}\right)$ बन जाता है, जिसे सदैव $x$ के संबंध में $y$ का द्वितीय-कोटि अवकलज कहा जाता है।

अब, द्वितीय-कोटि अवकलज क्या है? द्वितीय-कोटि अवकलज किसी फलन के अवकलज का अवकलज होता है। इसे प्रथम-कोटि अवकलज से निकाला जाता है। इसलिए हम पहले फलन का अवकलज ढूँढ़ते हैं और फिर प्रथम अवकलज का अवकलन निकालते हैं। प्रथम-कोटि अवकलज को $f'(x)$ या ${dy \over dx}$ के रूप में लिखा जा सकता है जबकि द्वितीय-कोटि अवकलज को $f''(x)$ या ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ के रूप में लिखा जा सकता है

द्वितीय कोटि के अवकलज उदाहरण

प्रश्न यदि $f(x)=sin3x\ cos4x$ है, तो $f''(x)$ ज्ञात कीजिए। अतः दर्शाइए कि, $f''({\frac {\pi }{2}})=25$

समाधान हमारे पास है,

$f(x)=sin3x\ cos4x\ or,f(x)={\frac {1}{2}}\cdot 2sin3x\ cos4x={\frac {1}{2}}(sin7x-sinx)$

$x$ के सापेक्ष दो बार क्रमिक रूप से अवकलन करने पर, हम पाते हैं,

$f'(x)={\frac {1}{2}}cos7x\cdot [{d \over dx}7x-cosx]={\frac {1}{2}}7cos7x-cosx$

और $f''(x)={\frac {1}{2}}[7(-sin7x){d \over dx}7x-(-sinx)]={\frac {1}{2}}-49sin7x+sinx$

इसलिए, $f''({\pi \over 2})={\frac {1}{2}}[-49sin(7.{\pi \over 2}+sin{\pi \over 2}={\frac {1}{2}}-49\cdot (-1)+1$

$sin7\cdot {\frac {\pi }{2}}=sin(7.{\frac {\pi }{2}}+0)=-cos0=-1$

${\frac {1}{2}}\times 50=25$ (सिद्ध हुआ)

प्राचलिक फलन के द्वितीय-कोटि अवकलज

हम प्राचलिक रूप में फलन के द्वितीय अवकलज को निर्धारित करने के लिए दो बार चेन नियम का उपयोग करते हैं। द्वितीय अवकलज निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, $t$ के संबंध में प्रथम अवकलज का अवकलन ज्ञात करें, फिर $t$ के संबंध में $x$ के अवकलज से भाग दें। यदि $x=x(t)$ और $y=y(t),$ तो द्वितीय-कोटि प्राचलिक रूप है:

${dy \over dx}={(\operatorname {d} \!y/\operatorname {d} \!t) \over (\operatorname {d} \!x/\operatorname {d} \!t)}$ प्रथम अवकलज है।

${d^{2}y \over dx^{2}}={d \over dx(\operatorname {d} \!y/\operatorname {d} \!x)}$ दूसरा अवकलज है।

${(\operatorname {d} \!y/\operatorname {d} \!t) \over (\operatorname {d} \!x/\operatorname {d} \!t)}={d \over dt}\ {\operatorname {d} \!y/\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!x/\operatorname {d} \!t}$

टिप्पणी: सूत्र ${d^{2}y \over dx^{2}}={(\operatorname {d} ^{2}\!y/\operatorname {d} \!t^{2}) \over (\operatorname {d} ^{2}\!x/\operatorname {d} \!t^{2})}$ पूर्णतः गलत है।

स्थानीय अधिकतम या निम्नतम विभक्ति बिंदु मान फलन के दूसरे अवकलज द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

इन्हें निम्नलिखित मानदंडों का उपयोग करके पहचाना जा सकता है

फलन $f(x)$ का $x$ पर स्थानीय अधिकतम मान होता है यदि $f''(x)<0$ है।
फलन $f(x)$ का $x$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होता है यदि $f''(x)>0$ है।
यदि $f''(x)=0$ है, तो बिंदु $x$ के बारे में कोई निष्कर्ष निकालना असंभव है।

द्वितीय कोटि अवकलज उदाहरण:

द्वितीय कोटि अवकलजों की श्रेष्ठ समझ प्राप्त करने के लिए आइए एक उदाहरण देखें।

उदाहरण : यदि $y=e^{(x^{3})}-3x^{4}$ है, तो ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ का मान ज्ञात करें।

समाधान: दिया गया है कि, $y=e^{(x^{3})}-3x^{4}$

जब हम इस समीकरण को $x$ के सापेक्ष विभेदित करते हैं, तो हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:

$\operatorname {d} \!y/\operatorname {d} \!x=e^{(x^{3})}\times 3x^{2}-12x^{3}$

फिर, दिए गए फलन के द्वितीय कोटि अवकलज को निर्धारित करने के लिए, हम $x$ के सापेक्ष एक बार फिर प्रथम अवकलज को विभेदित करते हैं, और इसी तरह आगे बढ़ते हैं।

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e(x^{3})\times 3x^{2}\times 3x^{2}+e(x^{3})\times 6x-36x^{2}$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=xe(x^{3})\times (9x^{3}+6)-36x^{2}$

यह वह समाधान है जिसकी आवश्यकता है।

निष्कर्ष

हम किसी वास्तविक चर के फलन में परिवर्तन की दर का पता उसके तर्क के संबंध में फलन के अवकलज को लेकर लगा सकते हैं। अवकलज को प्रतीक ${dy \over dx}$ द्वारा दर्शाया जाता है। अनुपात ${dy \over dx}$ , $x$ के दिए गए मान के संबंध में $y$ में परिवर्तन की दर को इंगित करता है। फलन के आलेख पर स्पर्शरेखा रेखा के ढलान का उपयोग फलन के अवकलज को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है। दिए गए फलन के पहले कोटि के अवकलज के अवकलज को दूसरे कोटि के अवकलज के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह आलेख के आकार के साथ-साथ इसकी अवतलता के बारे में जानकारी प्रदान करता है।

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-व्युत्पन्न आपको किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन की ढलान प्रदान करता है। किसी फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए स्थान पर स्पर्शरेखा की ढलान, या उस स्थिति पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की तात्कालिक दर, उस बिंदु पर पहले क्रम के व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित की जाती है। द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ के आकार की समझ प्रदान करता है। फ़ंक्शन f(x) के दूसरे व्युत्पन्न को आमतौर पर f" (x) के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। यदि y = f, तो इसे कभी-कभी D2y या y2 या y" (x) के रूप में व्यक्त किया जाता है।
+अवकलज आपको किसी भी बिंदु पर फलन की ढलान प्रदान करता है। किसी फलन के पहले अवकलज के अवकलन को दूसरे कोटि के अवकलज के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए स्थान पर स्पर्शरेखा की ढलान, या उस स्थिति पर फलन के परिवर्तन की तात्कालिक दर, उस बिंदु पर पहले कोटि के अवकलज द्वारा निर्धारित की जाती है। द्वितीय-कोटि अवकलज हमें फलन के आलेख के आकार की समझ प्रदान करता है। फलन <math>f(x)</math> के दूसरे [[अवकलज]] को साधारणतः  <math>f''(x)</math> के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। यदि <math>y = f,</math>तो इसे कभी-कभी <math>d^2y</math> या <math>y^2</math> या <math>y''(x)</math> के रूप में व्यक्त किया जाता है।
 == परिभाषा ==
-किसी फ़ंक्शन का दूसरा-क्रम व्युत्पन्न विचाराधीन फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न के व्युत्पन्न से ज़्यादा कुछ नहीं है। नतीजतन, दूसरे व्युत्पन्न की गणना करके, जो समय के संबंध में गति में परिवर्तन की दर है, कार की गति में बदलाव (समय के संबंध में यात्रा की गई दूरी का दूसरा व्युत्पन्न) निर्धारित करना संभव है।
+किसी फलन का दूसरा-कोटि अवकलज विचाराधीन फलन के पहले अवकलज के अवकलज से अधिक कुछ नहीं है। परिणाम स्वरूप , दूसरे अवकलज की गणना करके, जो समय के संबंध में गति में परिवर्तन की दर है, कार की गति में बदलाव (समय के संबंध में यात्रा की गई दूरी का दूसरा अवकलज ) निर्धारित करना संभव है।
-Let's say y = f. (x)
+चलिए मान लेते हैं  <math>y = f\cdot (x)</math>
-dy/dx = f' then (x)
+<math>{dy \over dx} = f'</math>     तब <math>(x)</math>
-यदि f'(x) अवकलनीय है, तो हम इसे 'x' के सापेक्ष एक बार फिर अवकलित कर सकते हैं। इस प्रकार बायाँ भाग d/dx(dy/dx) बन जाता है, जिसे अक्सर x के संबंध में y का द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न कहा जाता है।
+यदि <math>f'(x)</math> [[अवकलनीयता|अवकलनीय]] है, तो हम इसे '<math>x </math>' के सापेक्ष एक बार फिर अवकलित कर सकते हैं। इस प्रकार बायाँ भाग <math>{d \over dx}\left ( \frac{dy}{dx} \right )</math> बन जाता है, जिसे सदैव <math>x </math> के संबंध में <math>y </math> का द्वितीय-कोटि अवकलज कहा जाता है।
-अब, द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न क्या है? द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का व्युत्पन्न होता है। इसे प्रथम-क्रम व्युत्पन्न से निकाला जाता है। इसलिए हम पहले फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढ़ते हैं और फिर प्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न निकालते हैं। प्रथम-क्रम व्युत्पन्न को f’(x) या dy/dx के रूप में लिखा जा सकता है जबकि द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न को f’’(x) या d²y/dx² के रूप में लिखा जा सकता है
+अब, द्वितीय-कोटि अवकलज क्या है? द्वितीय-कोटि अवकलज किसी फलन के अवकलज का अवकलज होता है। इसे प्रथम-कोटि अवकलज से निकाला जाता है। इसलिए हम पहले फलन का अवकलज ढूँढ़ते हैं और फिर प्रथम अवकलज का अवकलन  निकालते हैं। प्रथम-कोटि अवकलज को <math>f'(x)</math> या <math>{dy \over dx}</math> के रूप में लिखा जा सकता है जबकि द्वितीय-कोटि अवकलज को <math>f''(x)</math> या <math>\frac{d^2y}{dx^2}</math> के रूप में लिखा जा सकता है
-=== '''Second-Order Derivative Examples''' ===
+== द्वितीय कोटि के अवकलज उदाहरण ==
-'''Question 1)''' If f(x) = sin3x cos4x, find  f’’(x). Hence, show that,  f’’(π/2) = 25.
+'''प्रश्न'''  यदि <math>f(x) = sin3x \ cos4x</math> है, तो <math>f''(x)</math> ज्ञात कीजिए। अतः दर्शाइए कि, <math>f''(\frac{\pi}{2}) = 25</math>
-'''Solution 1)''' We have,
+'''समाधान'''   हमारे पास है,
-f(x) =  sin3x cos4x or, f(x) =
+<math>f(x) = sin3x\ cos4x\ or, f(x) =\frac{1}{2}\cdot 2sin3x\ cos4x =\frac{1}{2} (sin7x-sinx)</math>
-. 2sin3x cos4x =
+<math>x </math> के सापेक्ष दो बार क्रमिक रूप से अवकलन करने पर, हम पाते हैं,
-(sin7x-sinx)
+<math>f'(x) =\frac{1}{2} cos7x\cdot [{d \over dx }7x-cosx] =\frac{1}{2} 7cos7x-cosx</math>
-Differentiating two times successively w.r.t. x we get,
+और  <math>f''(x)=\frac{1}{2}[7(-sin7x){d \over dx}7x-(-sinx)]=\frac{1}{2}-49sin7x+sinx</math>
-f’(x) =
+इसलिए,   <math>f''({\pi \over 2})= \frac{1}{2}[-49sin(7.{\pi \over 2}+ sin{\pi \over 2}= \frac{1}{2}-49\cdot (-1)+1</math>
-x-cosx] =
+<math>sin7\cdot \frac{\pi}{2}=sin(7.\frac{\pi}{2}+0)=-cos0=-1</math>
-And f’’(x) =
+<math>\frac{1}{2} \times50=25 </math>   (सिद्ध हुआ)
+== प्राचलिक फलन के द्वितीय-कोटि अवकलज ==
+हम [[फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज|प्राचलिक]] रूप में फलन के द्वितीय अवकलज को निर्धारित करने के लिए दो बार चेन नियम का उपयोग करते हैं। द्वितीय अवकलज निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, <math>t </math> के संबंध में प्रथम अवकलज का अवकलन  ज्ञात करें, फिर <math>t </math> के संबंध में <math>x </math> के अवकलज से भाग दें। यदि <math>x = x(t)</math> और  <math>y = y(t),</math> तो द्वितीय-कोटि प्राचलिक रूप है:
-=
+<math>{dy \over dx}={(\operatorname{d}\!y/\operatorname{d}\!t) \over (\operatorname{d}\!x/\operatorname{d}\!t)}</math>    प्रथम अवकलज है।
-Therefore,f’’(π/2) =
+<math>{d^2y \over dx^2}={d \over dx(\operatorname{d}\!y/\operatorname{d}\!x)}</math>  दूसरा अवकलज है।
-=
+<math>{(\operatorname{d}\!y/\operatorname{d}\!t) \over (\operatorname{d}\!x/\operatorname{d}\!t)}={d \over dt}\ {\operatorname{d}\!y/\operatorname{d}\!x \over \operatorname{d}\!x/\operatorname{d}\!t}</math>
-                  =
+'''टिप्पणी''': सूत्र <math>{d^2y \over dx^2}= {(\operatorname{d}^2\!y/\operatorname{d}\!t^2)\over(\operatorname{d}^2\!x/\operatorname{d}\!t^2)}</math> पूर्णतः गलत है।
-x 50 = 25(Proved)
+स्थानीय अधिकतम या निम्नतम विभक्ति बिंदु मान फलन के दूसरे अवकलज द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
-'''Question 2)''' If y =
+== इन्हें निम्नलिखित मानदंडों का उपयोग करके पहचाना जा सकता है ==
+* फलन <math>f(x)</math> का <math>x </math> पर स्थानीय अधिकतम मान होता है यदि <math>f''(x) < 0</math> है।
+* फलन <math>f(x)</math>का <math>x </math> पर स्थानीय न्यूनतम मान होता है यदि <math>f''(x) > 0</math> है।
+* यदि <math>f''(x) = 0</math> है, तो बिंदु <math>x </math> के बारे में कोई निष्कर्ष निकालना असंभव है।
-(
+== द्वितीय कोटि अवकलज उदाहरण: ==
+द्वितीय कोटि अवकलजों  की श्रेष्ठ समझ प्राप्त करने के लिए आइए एक उदाहरण देखें।
-), find y₂.
+'''उदाहरण''' : यदि  <math>y = e^{(x^3)}-3x^4</math> है, तो  <math>\frac{d^2y}{dx^2}</math> का मान ज्ञात करें।
-== पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न ==
+'''समाधान''':  दिया गया है कि, <math>y = e^{(x^3)}-3x^4</math>
-हम पैरामीट्रिक रूप में फ़ंक्शन के द्वितीय व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए दो बार चेन नियम का उपयोग करते हैं। द्वितीय व्युत्पन्न निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, t के संबंध में प्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न ज्ञात करें, फिर t के संबंध में x के व्युत्पन्न से भाग दें। यदि x = x(t) और y = y(t), तो द्वितीय-क्रम पैरामीट्रिक रूप है:
-=
+जब हम इस समीकरण को <math>x </math> के सापेक्ष विभेदित करते हैं, तो हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:
-is the first derivative.
+<math>\operatorname{d}\!y/\operatorname{d}\!x=e^{(x^3)}\times 3x^2-12x^3</math>
-=
+फिर, दिए गए फलन के द्वितीय कोटि  अवकलज को निर्धारित करने के लिए, हम <math>x </math> के सापेक्ष एक बार फिर प्रथम अवकलज को विभेदित करते हैं, और इसी तरह आगे बढ़ते हैं।
-is the second derivative.
+<math>\frac{d^2y}{dx^2}= e(x^3) \times 3x^2 \times 3x^2 + e(x^3) \times 6x - 36x^2</math>
-=
+<math>\frac{d^2y}{dx^2}= xe(x^3) \times (9x^3 + 6) - 36x^2</math>
-'''Note:''' The formula
-=
-  is completely incorrect.
-स्थानीय अधिकतम या निम्नतम विभक्ति बिंदु मान फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
-== इन्हें निम्नलिखित मानदंडों का उपयोग करके पहचाना जा सकता है: ==
-* फ़ंक्शन f(x) का x पर स्थानीय अधिकतम मान होता है यदि f"(x) < 0 है।
-* फ़ंक्शन f(x) का x पर स्थानीय न्यूनतम मान होता है यदि f"(x) > 0 है।
-* यदि f"(x) = 0 है, तो बिंदु x के बारे में कोई निष्कर्ष निकालना असंभव है।
-== द्वितीय क्रम व्युत्पन्न उदाहरण: ==
-द्वितीय क्रम व्युत्पन्नों की बेहतर समझ प्राप्त करने के लिए आइए एक उदाहरण देखें।
-उदाहरण 1: यदि y = e(x³)–3x⁴ है, तो d²y/dx² का मान ज्ञात करें।
-समाधान: दिया गया है कि, y = e(x³)–3x⁴
-जब हम इस समीकरण को x के सापेक्ष विभेदित करते हैं, तो हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:
-dy/dx = e(x³) x 3x² –12x³
-फिर, दिए गए फ़ंक्शन के द्वितीय क्रम व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए, हम x के सापेक्ष एक बार फिर प्रथम व्युत्पन्न को विभेदित करते हैं, और इसी तरह आगे बढ़ते हैं।
-d²y/dx² = e(x³) x 3x² x 3x² + e(x³) x 6x – 36x²
-d²y/dx² = xe(x³) x (9x³ + 6) – 36x²
 यह वह समाधान है जिसकी आवश्यकता है।
 == निष्कर्ष ==
-हम किसी वास्तविक चर के फ़ंक्शन में परिवर्तन की दर का पता उसके तर्क के संबंध में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को लेकर लगा सकते हैं। व्युत्पन्न को प्रतीक dy/dx द्वारा दर्शाया जाता है। अनुपात dy/dx x के दिए गए मान के संबंध में y में परिवर्तन की दर को इंगित करता है। फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा रेखा के ढलान का उपयोग फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है। दिए गए फ़ंक्शन के पहले क्रम के व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह ग्राफ़ के आकार के साथ-साथ इसकी अवतलता के बारे में जानकारी प्रदान करता है।
+हम किसी वास्तविक चर के फलन में परिवर्तन की दर का पता उसके तर्क के संबंध में फलन के अवकलज को लेकर लगा सकते हैं। अवकलज को प्रतीक <math>{dy \over dx}</math> द्वारा दर्शाया जाता है। अनुपात <math>{dy \over dx}</math>, <math>x </math> के दिए गए मान के संबंध में <math>y </math> में परिवर्तन की दर को इंगित करता है। फलन के आलेख पर स्पर्शरेखा रेखा के ढलान का उपयोग फलन के अवकलज को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है। दिए गए फलन के पहले कोटि के अवकलज के अवकलज को दूसरे कोटि के अवकलज के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह आलेख के आकार के साथ-साथ इसकी अवतलता के बारे में जानकारी प्रदान करता है।
 [[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]