अवकलनीयता

अवकलनीय फलन, कैलकुलस में एक चर में एक फलन होता है, जैसे कि इसका अवकलज इसके पूरे प्रांत में प्रत्येक बिंदु पर उपस्थित होता है। एक अवकलनीय फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा सदैव अपने प्रांत में प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर गैर-ऊर्ध्वाधर होती है। अवकलनीय फलन में कोई विराम, पुच्छ या कोण नहीं होता है। एक अवकलनीय फलन प्रायः संतत होता है लेकिन हर संतत फलन अवकलनीय नहीं होता है।

इस लेख में, हम अवकलनीय का अर्थ, अवकलनीयता नियमों का उपयोग करके यह पता लगाने के तरीके का पता लगाएंगे कि फलन अवकलनीय है या नहीं, अवकलनीयता में सीमाओं के महत्व को समझेंगे और इसके अन्य प्रभावशाली पहलुओं को ज्ञात करेंगे।

परिभाषा

बिंदु $P={dy \over dx}$ पर किसी फलन का अवकलनीयता

किसी फलन को अवकलनीय कहा जाता है यदि फलन का अवकलज उसके प्रांत में सभी बिंदुओं पर उपस्थित हो। विशेष रूप से, यदि फलन $f(x),x=a$ पर अवकलनीय है, तो $f'(a)$ प्रांत में उपस्थित है। आइए हम बहुपद और पारमार्थिक फलन के कुछ उदाहरण देखें जो अवकलनीय हैं:

• $f(x)=x^{4}-3x+5$
• $f(x)=x^{100}$
• $f(x)=sinx$
• $f(x)=e^{x}$

अवकलनीय फलनों के नियम

यदि $f,g$अवकलनीय फलन हैं, तो हम उनके योग, अंतर, गुणनफल और भागफल के अवकलज ज्ञात करने के लिए कुछ नियमों का उपयोग कर सकते हैं। यहाँ कुछ अवकलनीयता सूत्र दिए गए हैं जिनका उपयोग अवकलनीय फलन के अवकलज ज्ञात करने के लिए किया जाता है:

• $(f+g)'=f'+g'$
• $(f-g)'=f'-g'$
• $(fg)'=f'g+fg'$
• $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {(f'g-fg')}{f^{2}}}$

उदाहरण

आइए फलन का अवकलज ज्ञात करने के लिए अवकलनीयता नियमों का उपयोग करें

$f(x)=(2x+1)^{3}$

${df \over dx}={d(2x+1)^{3} \over dx}$

$={d(8x^{3}+12x^{2}+6x+1) \over dx}$

$=24x^{2}+24x+6$

$=6(2x+1)^{2}$

सामान्य अवकलनीयता सूत्र

कलन में, अवकलनीय फलनों का अवकलन चर के संबंध में फलनों के परिवर्तन की दर निर्धारित करने की गणितीय प्रक्रिया है। कुछ सामान्य अवकलनीयता सूत्र जिनका उपयोग हम विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए करते हैं:

• $sinx:(sinx)'=cosx$ का अवकलज
• $cosx:(cosx)'=-sinx$ का अवकलज
• $tanx:(tanx)'=sec^{2}x$ का अवकलज
• $cotx:(cotx)'=-cosec^{2}x$ का अवकलज
• $secx:(secx)'=secx.tanx$ का अवकलज
• $cosecx:{(cos}^{}$