लघूगणकीय अवकलन: Difference between revisions

Latest revision as of 11:58, 2 December 2024

लघूगणकीय अवकलन का उपयोग बड़े फलनों को अवकलन करने के लिए किया जाता है, जिसमें लघुगणक और अवकलन के श्रृंखला नियम का उपयोग किया जाता है। फलन $f(x)$ का लघूगणकीय अवकलन ${\frac {f'(x)}{f(x)}}\cdot {d \over dx}\cdot logf(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}$ है। साथ ही लघुगणक का उपयोग फलन के गुणनफल को फलन के योग में और फलन के विभाजन को फलन के अंतर में बदल देता है।

चरघातांकी फलन या बहुत सारे उप-फलन वाले फलन को लघूगणकीय अवकलन का उपयोग करके आसानी से अवकलन किया जा सकता है। आइए उदाहरणों के साथ लघूगणकीय अवकलन के अनुप्रयोगों के बारे में अधिक जानें।

परिभाषा

लघुगणकीय अवकलन लघुगणक गुणों और अवकलन के श्रृंखला नियम पर आधारित है और इसका उपयोग मुख्य रूप से $f(x)^{g(x)}$ के रूप के फलनों को अवकलन करने के लिए किया जाता है। यह सरल और त्वरित चरणों में अवकलन को आसानी से करने में सहायता करता है। जो फलन जटिल हैं और जिन्हें बीजगणितीय रूप से हल नहीं किया जा सकता है और अवकलन नहीं किया जा सकता है, उन्हें लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करके अवकलन किया जा सकता है।

लघूगणकीय अवकलन सूत्र

फलन $f(x)$ का लघूगणकीय अवकलन, फलन के अवकलन के समान होता है, जिसे फलन से विभाजित किया जाता है। यहाँ वह सूत्र दिया गया है जिसका उपयोग मुख्य रूप से लघूगणकीय अवकलन में किया जाता है।

${d \over dx}logf(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}$

लघूगणकीय अवकलन का उपयोग तब किया जाता है जब फलन कई उप-फलनों से बना होता है, जिसमें फलनों के बीच एक उत्पाद, फलनों के बीच विभाजन, फलनों के बीच एक घातीय संबंध या किसी फलन को दूसरे फलन में बढ़ाया जाता है। लघूगणकीय फलन के गुणनफल को फलनों के योग में और फलनों के विभाजन को फलनों के अंतर में बदलने में सहायता करते हैं। इसके अलावा, लघूगणकीय का उपयोग करके फलन को विभाजित करने के बाद, इसे अवकलन के श्रृंखला नियम का उपयोग करके आसानी से एक सामान्य फलन के रूप में अवकलन किया जा सकता है। अवकलन के श्रृंखला नियम ने पहले लघूगणकीय को उपस्थित करते हुए फलन को अवकलनकिया और फिर फलन को स्वतंत्र रूप से अवकलन किया।

${d\log f(x) \over dx}={\frac {1}{f(x)}}{df(x) \over dx}$

${d \over dx}\cdot \log f(x)={\frac {1}{f(x)}}{d \over dx}f(x)$

लघुगणकीय गुणों का निम्नलिखित समूह फलनों को सरल बनाने और अवकलन प्रक्रिया को निष्पादित करने में सहायता करता है।

$\log AB=\log A+\log B$
$\log {\frac {A}{B}}=\log A-\log B$
$logA^{B}=B\log A$
$logB^{A}={\frac {(\log A)}{(\log B)}}$

लघूगणकीय अवकलन के अनुप्रयोग

लघूगणकीय अवकलन के अनुप्रयोग फलन के गुणनफल, दो फलन के विभाजन और चरघातांकी फलन के लिए हैं। आइए लघूगणकीय अवकलन के इन अनुप्रयोगों में से प्रत्येक पर दृष्टि डालें।

फलन का गुणनफल

दो या अधिक फलन के गुणनफल के लिए, लघूगणकीय का अनुप्रयोग गुणनफल को फलन के योग में बदल देता है और फलन के आसान अवकलन की सुविधा देता है। मान लें कि फलन $f(x)$ , क्रमशः दो उप-फलन $g(x)$ , और $h(x)$ का गुणनफल है, और हम फलन के अवकलन के बाद लघूगणकीय लागू कर सकते हैं।

$f(x)=g(x)\cdot h(x)$

आइए हम उपरोक्त समीकरण के दोनों ओर लघुगणक लागू करें जो फलनों के गुणनफल को दर्शाता है।

$\log f(x)=\log(g(x)\cdot h(x))$

$\log f(x)=\log g(x)+\log h(x)$

आइये अब हम दोनों पक्षों में अवकलन करें।

${d \over dx}\log f(x)={d \over dx}\log g(x)+{d \over dx}\log h(x)$

${\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}$

$f'(x)=f(x)[{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}]$

$f'(x)=f(x){\frac {[h(x)\cdot g'(x)+g(x)\cdot h'(x)]}{g(x)\cdot h(x)}}$

$f'(x)=g(x)\cdot h(x){\frac {[h(x)\cdot g'(x)+g(x)\cdot h'(x)]}{g(x)\cdot h(x)}}$

$f'(x)=h(x)\cdot g'(x)+g(x)\cdot h'(x)$

दो फलनों के गुणनफल का यह विभेदन, जिसमें लघुगणकीय अवकलन उपस्थित है, लाइबनिज़ नियम कहलाता है। उपरोक्त नियम को "गुणनफल नियम" के नाम से जाना जाता है।

फलनों का विभाजन

एक फलन के दूसरे फलन के साथ विभाजन का अवकलन जिसे फलन का भागफल भी कहा जाता है, लघूगणकीय अवकलन की प्रक्रिया द्वारा प्राप्त किया जाता है। एक फलन के दूसरे फलन के साथ विभाजन के लिए लघुगणक का अनुप्रयोग इसे दो फलनों में से प्रत्येक के लघुगणक में अंतर में बदल देता है। आइए एक फलन $f(x)$ पर विचार करें, जो दो फलन $g(x)$ और $h(x)$ के भागफल के समान है।

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$

आइए उपरोक्त समान के दोनों ओर लघुगणक लागू करें जो दोनों फलनों के भागफल का प्रतिनिधित्व करते हैं।

$\log f(x)=\log {\frac {g(x)}{h(x)}}$

$\log f(x)=\log g(x)-\log h(x)$

इसके अतिरिक्त हम उपरोक्त लघुगणकीय समीकरण पर अवकलन लागू कर सकते हैं।

${d \over dx}\log f(x)={d \over dx}\log g(x)-{d \over dx}\log h(x)$

${\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}$

$f'(x)=f(x)[{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}]$

$f'(x)=f(x){\frac {[h(x)\cdot g'(x)-g(x)\cdot h'(x)]}{g(x)\cdot h(x)}}$

$f'(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}{\frac {[h(x)\cdot g'(x)-g(x)\cdot h'(x)]}{g(x)\cdot h(x)}}$

$f'(x)={\frac {[h(x)\cdot g'(x)-g(x)\cdot h'(x)]}{h^{2}(x)}}$

उपरोक्त नियम को "भागफल नियम" के नाम से जाना जाता है।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

जब हमें $h(x)=f(x)^{g(x)}$ के रूप वाले किसी फलन का अवकलज ज्ञात करना हो, तो लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करना अनिवार्य है।
यहाँ, प्रक्रिया को सार्थक बनाने के लिए दिए गए प्रांत में $h(x)$ और $f(x)$ दोनों को सकारात्मक होना चाहिए।

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-लघुगणक विभेदन का उपयोग बड़े कार्यों को विभेदित करने के लिए किया जाता है, जिसमें लघुगणक और विभेदन के श्रृंखला नियम का उपयोग किया जाता है। फ़ंक्शन f(x) का लघुगणक विभेदन f'(x)/f(x)· ddx.logf(x)=f′(x)f(x)· है। साथ ही लघुगणक का उपयोग फ़ंक्शन के गुणनफल को फ़ंक्शन के योग में और फ़ंक्शन के विभाजन को फ़ंक्शन के अंतर में बदल देता है।
+लघूगणकीय अवकलन का उपयोग बड़े फलनों  को अवकलन करने के लिए किया जाता है, जिसमें लघुगणक और अवकलन के श्रृंखला नियम का उपयोग किया जाता है। फलन <math>f(x)</math> का लघूगणकीय अवकलन <math>\frac{f'(x)}{f(x)} \cdot {d\over dx}\cdot logf(x) =\frac{f'(x)}{f(x)}</math> है। साथ ही लघुगणक का उपयोग फलन के गुणनफल को फलन के योग में और फलन के विभाजन को फलन के अंतर में बदल देता है।
-घातांकीय फ़ंक्शन या बहुत सारे उप-फ़ंक्शन वाले फ़ंक्शन को लघुगणक विभेदन का उपयोग करके आसानी से विभेदित किया जा सकता है। आइए उदाहरणों के साथ लघुगणक विभेदन के अनुप्रयोगों के बारे में अधिक जानें।
+[[चरघातांकी तथा लघूगणकीय फलन|चरघातांकी फलन]] या बहुत सारे उप-फलन वाले फलन को लघूगणकीय अवकलन का उपयोग करके आसानी से अवकलन किया जा सकता है। आइए उदाहरणों के साथ लघूगणकीय अवकलन के अनुप्रयोगों के बारे में अधिक जानें।
 == परिभाषा ==
-लघुगणकीय विभेदन लघुगणक गुणों और विभेदन के श्रृंखला नियम पर आधारित है और इसका उपयोग मुख्य रूप से f(x)g(x) के रूप के कार्यों को विभेदित करने के लिए किया जाता है। यह सरल और त्वरित चरणों में विभेदन को आसानी से करने में मदद करता है। जो कार्य जटिल हैं और जिन्हें बीजगणितीय रूप से हल नहीं किया जा सकता है और विभेदित नहीं किया जा सकता है, उन्हें लघुगणकीय विभेदन का उपयोग करके विभेदित किया जा सकता है।
+लघुगणकीय [[अवकलनीयता|अवकलन]] लघुगणक गुणों और अवकलन के श्रृंखला नियम पर आधारित है और इसका उपयोग मुख्य रूप से <math>f(x)^{g(x)}</math> के रूप के फलनों  को अवकलन करने के लिए किया जाता है। यह सरल और त्वरित चरणों में अवकलन को आसानी से करने में सहायता करता है। जो फलन जटिल हैं और जिन्हें बीजगणितीय रूप से हल नहीं किया जा सकता है और अवकलन नहीं किया जा सकता है, उन्हें लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करके अवकलन किया जा सकता है।
-== सूत्र ==
+== लघूगणकीय अवकलन सूत्र ==
-फ़ंक्शन f(x) का लघुगणक विभेदन फ़ंक्शन के विभेदन के बराबर होता है, जिसे फ़ंक्शन से विभाजित किया जाता है। यहाँ वह सूत्र दिया गया है जिसका उपयोग मुख्य रूप से लघुगणक विभेदन में किया जाता है।
+फलन <math>f(x)</math> का लघूगणकीय अवकलन, फलन के अवकलन के समान  होता है, जिसे फलन से विभाजित किया जाता है। यहाँ वह सूत्र दिया गया है जिसका उपयोग मुख्य रूप से लघूगणकीय अवकलन में किया जाता है।
+<math>{d\over dx} logf(x) =\frac{f'(x)}{f(x)}</math>
+लघूगणकीय अवकलन का उपयोग तब किया जाता है जब फलन कई उप-फलनों से बना होता है, जिसमें फलनों के बीच एक उत्पाद, फलनों के बीच विभाजन, फलनों के बीच एक घातीय संबंध या किसी फलन को दूसरे फलन में बढ़ाया जाता है। लघूगणकीय फलन के गुणनफल को फलनों के योग में और फलनों के विभाजन को फलनों के अंतर में बदलने में सहायता करते हैं। इसके अलावा, लघूगणकीय का उपयोग करके फलन को विभाजित करने के बाद, इसे अवकलन के श्रृंखला नियम का उपयोग करके आसानी से एक सामान्य फलन के रूप में अवकलन किया जा सकता है। अवकलन के श्रृंखला नियम ने पहले लघूगणकीय को उपस्थित करते हुए फलन को अवकलनकिया और फिर फलन को स्वतंत्र रूप से अवकलन किया।
-ddxlogf(x)=f′(x)f(x)
+<math>{d\log f(x) \over dx} = \frac{1 }{f(x)} {d f(x) \over dx}</math>
-लॉगरिदमिक विभेदन का उपयोग तब किया जाता है जब फ़ंक्शन कई उप-फ़ंक्शनों से बना होता है, जिसमें फ़ंक्शनों के बीच एक उत्पाद, फ़ंक्शनों के बीच विभाजन, फ़ंक्शनों के बीच एक घातीय संबंध या किसी फ़ंक्शन को दूसरे फ़ंक्शन में बढ़ाया जाता है। लॉगरिदम फ़ंक्शन के उत्पाद को फ़ंक्शनों के योग में और फ़ंक्शनों के विभाजन को फ़ंक्शनों के अंतर में बदलने में मदद करते हैं। इसके अलावा, लॉगरिदम का उपयोग करके फ़ंक्शन को तोड़ने के बाद, इसे विभेदन के श्रृंखला नियम का उपयोग करके आसानी से एक सामान्य फ़ंक्शन के रूप में विभेदित किया जा सकता है। विभेदन के श्रृंखला नियम ने पहले लॉगरिदम को शामिल करते हुए फ़ंक्शन को विभेदित किया और फिर फ़ंक्शन को स्वतंत्र रूप से विभेदित किया। d/dx लॉग f(x) = 1/f(x) d/dx f(x)·
+<math>{d\over dx} \cdot \log f(x) = \frac{1 }{f(x)} {d\over dx} f(x) </math>
-ddx.logf(x)=1f(x)ddxf(x)
+लघुगणकीय गुणों का निम्नलिखित समूह फलनों  को सरल बनाने और अवकलन प्रक्रिया को निष्पादित करने में सहायता करता है।
+* <math>\log AB = \log A + \log B</math>
+* <math>\log \frac{A}{B} = \log A - \log B</math>
+* <math>log A^B = B \log A</math>
+* <math>logB^A = \frac{ (\log A)}{(\log B)} </math>
+== लघूगणकीय अवकलन के अनुप्रयोग ==
+लघूगणकीय अवकलन के अनुप्रयोग फलन के गुणनफल, दो फलन के विभाजन और चरघातांकी फलन  के लिए हैं। आइए लघूगणकीय अवकलन के इन अनुप्रयोगों में से प्रत्येक पर दृष्टि डालें।
-लघुगणकीय गुणों का निम्नलिखित समूह कार्यों को सरल बनाने और विभेदन प्रक्रिया को निष्पादित करने में सहायता करता है।
+=== फलन का गुणनफल ===
+दो या अधिक फलन के गुणनफल के लिए, लघूगणकीय का अनुप्रयोग गुणनफल को फलन के योग में बदल देता है और फलन के आसान अवकलन की सुविधा देता है। मान लें कि फलन <math>f(x)</math>, क्रमशः दो उप-फलन <math>g(x)</math>, और <math>h(x)</math> का गुणनफल है, और हम फलन के अवकलन के बाद लघूगणकीय लागू कर सकते हैं।
-* log AB = log A + log B
+<math>f(x) = g(x) \cdot h(x)</math>
-* log A/B = log A - log B
-* log A<sup>B</sup> = B log A
-* logBA = (log A) / (log B)
-== लॉग विभेदन के अनुप्रयोग ==
+आइए हम उपरोक्त समीकरण के दोनों ओर लघुगणक लागू करें जो फलनों  के गुणनफल को दर्शाता है।
-लॉग विभेदन के अनुप्रयोग फ़ंक्शन के गुणनफल, दो फ़ंक्शन के विभाजन और घातांकीय फ़ंक्शन के लिए हैं। आइए लॉगरिदमिक विभेदन के इन अनुप्रयोगों में से प्रत्येक पर नज़र डालें।
-फ़ंक्शन का गुणनफल
+<math>\log f(x) = \log (g(x) \cdot h(x))</math>
-दो या अधिक फ़ंक्शन के गुणनफल के लिए, लॉगरिदम का अनुप्रयोग गुणनफल को फ़ंक्शन के योग में बदल देता है और फ़ंक्शन के आसान विभेदन की सुविधा देता है। मान लें कि फ़ंक्शन f(x), क्रमशः दो उप-फ़ंक्शन g(x), और h(x) का गुणनफल है, और हम फ़ंक्शन के विभेदन के बाद लॉगरिदमिक लागू कर सकते हैं।
+<math>\log f(x) = \log g(x) + \log h(x)</math>
-f(x) = g(x) · h(x)
+आइये अब हम दोनों पक्षों में अवकलन करें।
-आइए हम उपरोक्त समीकरण के दोनों ओर लघुगणक लागू करें जो कार्यों के गुणनफल को दर्शाता है।
+<math>{d \over dx} \log f(x) = {d \over dx}\log g(x) + {d \over dx} \log h(x)</math>
-log f(x) = log (g(x) · h(x))
+<math>\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{ g'(x)}{g(x)} + \frac{h'(x)}{ h(x)}</math>
-log f(x) = log g(x) + log h(x)
+<math>f'(x) = f(x) [\frac{g'(x)}{g(x)} + \frac{h'(x)}{h(x)}]</math>
-Let us now differentiate on both sides.
+<math>f'(x) = f(x) \frac{ [h(x)\cdot g'(x) + g(x)\cdot h'(x)]}{ g(x)\cdot h(x)} </math>
-d/dx log f(x) = d/dx log g(x) + d/dx log h(x)
+<math>f'(x) = g(x)\cdot h(x)\frac{ [h(x)\cdot g'(x) + g(x)\cdot h'(x)]}{ g(x)\cdot h(x)} </math>
-f'(x)/f(x) = g'(x)/g(x) + h'(x)/h(x)
+<math>f'(x) = h(x)\cdot g'(x) + g(x)\cdot h'(x) </math>
-f'(x) = f(x) [g'(x)/g(x) + h'(x)/h(x)]
+दो फलनों  के गुणनफल का यह विभेदन, जिसमें लघुगणकीय अवकलन उपस्थित है, लाइबनिज़ नियम कहलाता है। उपरोक्त नियम को "'''गुणनफल नियम'''" के नाम से जाना जाता है।
-f'(x) = f(x) [h(x)·g'(x) + g(x)·h'(x)] / g(x)·h(x)
+=== फलनों  का विभाजन ===
+एक फलन के दूसरे फलन के साथ विभाजन का अवकलन जिसे फलन का भागफल भी कहा जाता है, लघूगणकीय अवकलन की प्रक्रिया द्वारा प्राप्त किया जाता है। एक फलन के दूसरे फलन के साथ विभाजन के लिए लघुगणक का अनुप्रयोग इसे दो फलनों में से प्रत्येक के लघुगणक में अंतर में बदल देता है। आइए एक फलन <math>f(x)</math> पर विचार करें, जो दो फलन <math>g(x)</math> और <math>h(x)</math> के भागफल के समान  है।
-f'(x) = g(x)·h(x) [h(x)·g'(x) + g(x)·h'(x)] / g(x)·h(x)
+<math>f(x) = \frac{g(x)}{ h(x)}</math>
-f'(x) = h(x)·g'(x) + g(x)·h'(x)
+आइए उपरोक्त समान  के दोनों ओर लघुगणक लागू करें जो दोनों फलनों  के भागफल का प्रतिनिधित्व करते हैं।
-दो कार्यों के गुणनफल का यह विभेदन, जिसमें लघुगणकीय विभेदन शामिल है, लाइबनिज़ नियम कहलाता है। उपरोक्त नियम को "गुणनफल नियम" के नाम से जाना जाता है।
+<math>\log f(x) = \log \frac{g(x)}{ h(x)}</math>
-== कार्यों का विभाजन ==
+<math>\log f(x) = \log g(x) - \log h(x)</math>
-एक फ़ंक्शन के दूसरे फ़ंक्शन के साथ विभाजन का विभेदन जिसे फ़ंक्शन का भागफल भी कहा जाता है, लघुगणक विभेदन की प्रक्रिया द्वारा प्राप्त किया जाता है। एक फ़ंक्शन के दूसरे फ़ंक्शन के साथ विभाजन के लिए लघुगणक का अनुप्रयोग इसे दो फ़ंक्शनों में से प्रत्येक के लघुगणक में अंतर में बदल देता है। आइए एक फ़ंक्शन f(x) पर विचार करें, जो दो फ़ंक्शन g(x) और h(x) के भागफल के बराबर है।
-f(x) = g(x)/h(x)
+इसके अतिरिक्त हम उपरोक्त लघुगणकीय समीकरण पर अवकलन लागू कर सकते हैं।
-आइए उपरोक्त बराबर के दोनों ओर लघुगणक लागू करें जो दोनों कार्यों के भागफल का प्रतिनिधित्व करते हैं।
+<math>{d \over dx} \log f(x) = {d \over dx}\log g(x) - {d \over dx} \log h(x)</math>
-log f(x) = log g(x)/h(x)
+<math>\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{ g'(x)}{g(x)} - \frac{h'(x)}{ h(x)}</math>
-log f(x) = log g(x) - log h(x)
+<math>f'(x) = f(x) [\frac{g'(x)}{g(x)} - \frac{h'(x)}{h(x)}]</math>
-Further we can apply differentiation to the above logarithmic equation.
+<math>f'(x) = f(x) \frac{ [h(x)\cdot g'(x) - g(x)\cdot h'(x)]}{ g(x)\cdot h(x)} </math>
-d/dx log f(x) = d/dx log g(x) - d/dx log h(x)
+<math>f'(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \frac{ [h(x)\cdot g'(x) - g(x)\cdot h'(x)]}{ g(x)\cdot h(x)} </math>
-f'(x)/f(x) = g'(x)/g(x) - h'(x)/h(x)
+<math>f'(x) =  \frac{ [h(x)\cdot g'(x) - g(x)\cdot h'(x)]}{ h^2(x)} </math>
-f'(x) = f(x)[g'(x)/g(x) - h'(x)/h(x)]
+उपरोक्त नियम को "'''भागफल नियम'''" के नाम से जाना जाता है।
-f'(x) = f(x) [g'(x)·h(x) - g(x)·h'(x)]/g(x)·h(x)
+== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
-f'(x) = g(x)/h(x) [g'(x)·h(x) - g(x)·h'(x)]/g(x)·h(x)
+* जब हमें  <math>h(x) = f(x)^{g(x)} </math> के रूप वाले किसी फलन का अवकलज ज्ञात करना हो, तो लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करना अनिवार्य है।
+* यहाँ, प्रक्रिया को सार्थक बनाने के लिए दिए गए प्रांत में  <math>h(x)</math> और <math>f(x)</math>  दोनों को सकारात्मक होना चाहिए।
-f'(x) = [g'(x)·h(x) - g(x)·h'(x)]/h<sup>2</sup>(x)
-उपरोक्त नियम को "भागफल नियम" के नाम से जाना जाता है।
-== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
-जब हमें h(x) = f(x)g(x) के रूप वाले किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ज्ञात करना हो, तो लघुगणकीय विभेदन का उपयोग करना अनिवार्य है।
-यहाँ, प्रक्रिया को सार्थक बनाने के लिए दिए गए डोमेन में h(x) और f(x) दोनों को सकारात्मक होना चाहिए।
 [[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]