आव्यूह की कोटि

आव्यूह का क्रम, आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या को दर्शाता है। आव्यूह पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित तत्वों की एक सरणी है, और आव्यूह का क्रम आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की गिनती प्राप्त करने में सहायता करता है। इसके अतिरिक्त, आव्यूह का क्रम आव्यूह के प्रकार और आव्यूह में तत्वों की कुल संख्या जानने में सहायता करता है।

आव्यूह का क्रम एक महत्वपूर्ण पहलू है जो यह तय करने में सहायता करता है कि क्या कोई विशेष अंकगणितीय संक्रिया दो आव्यूहों में किया जा सकता है। यहाँ, आव्यूह के क्रम के आधार पर, हम विभिन्न प्रकार के आव्यूहों और विभिन्न अंकगणितीय संक्रियाओं के बारे में जान सकते हैं जिन्हें आव्यूहों में किया जा सकता है।

आव्यूह का क्रम आव्यूह का आयाम देता है, और यह आव्यूह में उपस्थित पंक्तियों और स्तंभों की संख्या को सूचित करता है। आव्यूह का क्रम साधारणतः $A_{m\times n}$ के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ $m$ पंक्तियों की संख्या है, और $n$ दिए गए आव्यूह में स्तंभों की संख्या है। साथ ही, आव्यूह के क्रम $(m\times n)$ का गुणन उत्तर आव्यूह में तत्वों की संख्या देता है।

$A_{m\times m}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&..&..&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&..&..&a_{2n}\\:&:&:&..&..&:\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&..&..&a_{mn}\end{bmatrix}}$

उपरोक्त आव्यूह में, हम पंक्तियों की $m$ संख्या और स्तंभों की $n$ संख्या देख सकते हैं। आव्यूह के क्रम में पहली संख्या सदैव पंक्तियों की संख्या को दर्शाती है, और आव्यूह के क्रम में दूसरी संख्या सदैव आव्यूह में स्तंभों की संख्या को दर्शाती है।

आव्यूह के क्रम के आधार पर आव्यूह के प्रकार

आव्यूह का क्रम आव्यूह के आयाम देता है, और यह विभिन्न प्रकार के आव्यूह को परिभाषित करता है। आइए कुछ विभिन्न प्रकार के आव्यूह के क्रम की जाँच करें।

पंक्ति आव्यूह का क्रम: पंक्ति आव्यूह में एक पंक्ति और कई स्तंभ होते हैं। इसलिए पंक्ति आव्यूह का क्रम $1\times n$ के रूप का होता है।

$A_{1\times n}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}&..&..&a_{n}\end{bmatrix}}$

स्तंभ आव्यूह का क्रम: स्तंभ आव्यूह में एक स्तंभ और कई पंक्तियाँ होती हैं। इसलिए स्तंभ आव्यूह का क्रम $n\times 1$ है।

$A_{n\times 1}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\:\\:\\a_{n}\end{bmatrix}}$

वर्ग आव्यूह का क्रम: जैसा कि नाम से पता चलता है, एक वर्ग आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होती है। इसलिए एक वर्ग आव्यूह का क्रम $n\times n$ के रूप का होता है। यहाँ हमारे पास नीचे दिए गए आव्यूह में $3$ पंक्तियों और $3$ स्तंभों की बराबर संख्या है।

$A_{3\times 3}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}$

आयताकार आव्यूह का क्रम: एक आयताकार आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या असमान होती है और इसलिए एक आयताकार आव्यूह का क्रम $m\times n$ के रूप का होता है। यहाँ नीचे दिए गए आव्यूह में, हमारे पास $2$ पंक्तियाँ और $3$ स्तंभ हैं।

$A_{2\times 3}={\begin{bmatrix}a&b&c\\&&\\d&e&f\end{bmatrix}}$

आव्यूह के परिवर्त का क्रम: आव्यूह का परिवर्त इसकी पंक्तियों को स्तंभ में और इसके स्तंभ को पंक्तियों में बदलकर प्राप्त किया जाता है। क्रम $m\times n$ के आव्यूह के लिए, दिए गए आव्यूह के परिवर्त का क्रम $n\times m$ है। यहाँ दिए गए आव्यूह में $2$ पंक्तियाँ और $3$ स्तंभ हैं, और इस आव्यूह के परिवर्त में $3$ पंक्तियाँ और $2$ स्तंभ हैं।

$A_{2\times 3}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}},A_{3\times 2}^{T}={\begin{bmatrix}a&d\\b&e\\c&f\end{bmatrix}}$

विभिन्न आव्यूह संचालन के लिए आव्यूह का क्रम

आव्यूह का क्रम आव्यूह के प्रकार को संदर्भित करता है। इसके अतिरिक्त आव्यूह के कई अंकगणितीय संचालन संदर्भित आव्यूह के क्रम पर आधारित होते हैं। आइए देखें कि आव्यूह के क्रम के आधार पर आव्यूह पर निम्नलिखित संचालन कैसे किए जाते हैं।

आव्यूहों का जोड़ और घटाव: दो आव्यूहों के जोड़ या घटाव के लिए, दोनों आव्यूहों का क्रम बराबर होना चाहिए। दोनों आव्यूहों में पंक्तियों की संख्या बराबर होनी चाहिए, और दोनों आव्यूहों में स्तंभ की संख्या भी बराबर होनी चाहिए। आइए इसे एक सरल उदाहरण से समझते हैं।

${\begin{bmatrix}2&-1&3\\&&\\0&5&2\end{bmatrix}}_{2\times 3}+{\begin{bmatrix}0&2&7\\&&\\1&-2&9\end{bmatrix}}_{2\times 3}$

$={\begin{bmatrix}2+0&-1+&3+7\\&&\\0+1&5+(-2)&2+9\end{bmatrix}}_{2\times 3}$

$={\begin{bmatrix}2&1&10\\&&\\1&3&11\end{bmatrix}}_{2\times 3}$

यहाँ परिणामी आव्यूह के तत्वों को प्राप्त करने के लिए दोनों आव्यूहों के संगत तत्वों को जोड़ा जाता है, और इसलिए दोनों आव्यूहों के तत्वों की संख्या और क्रम बराबर होना चाहिए। आव्यूहों के उपरोक्त योग में दोनों आव्यूहों का क्रम $2\times 3$ है।

आव्यूहों का गुणन: आव्यूहों के गुणन में आव्यूह के क्रम की एक विशेष शर्त उपस्थित होती है। गुणन के लिए पहले आव्यूह में स्तंभ की संख्या दूसरे आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। इसके अतिरिक्त, परिणामी आव्यूह का क्रम पहले आव्यूह की पंक्तियों की संख्या और दूसरे आव्यूह के स्तंभ की संख्या के बराबर होता है।

$AB={\begin{bmatrix}1&2&3\\&&\\3&1&0\end{bmatrix}}_{2\times 3}\times {\begin{bmatrix}1&4\\3&-1\\2&-3\end{bmatrix}}_{3\times 2}$

$={\begin{bmatrix}1\times 1+2\times 3+3\times 2&1\times 4+2\times (-1)+3\times (-3)\\3\times 1+1\times 3+0\times 2&3\times 4+1\times \times (-1)+0\times (-3)\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}13&-7\\6&11\end{bmatrix}}_{2\times 2}$

उपरोक्त उदाहरण में, पहले आव्यूह में स्तंभ की संख्या और दूसरे आव्यूह में पंक्तियों की संख्या $3$ के बराबर है। और परिणामी आव्यूह का क्रम $2\times 2$

है क्योंकि इसमें $2$ पंक्तियाँ हैं (जो पहले आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर है) और $2$ स्तंभ हैं (जो दूसरे आव्यूह में स्तंभ की संख्या के बराबर है)।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

निम्नलिखित वर्णन आव्यूह के क्रम के बारे में सीखे गए कुछ मुख्य टिप्पणियों का सारांश देते हैं।

• आव्यूह$m\times n$ के क्रम में, पहली संख्या $m$ सदैव पंक्तियों की संख्या को दर्शाती है, और दूसरी संख्या $n$ सदैव स्तंभों की संख्या को दर्शाती है।
• दो आव्यूह के जोड़ और घटाव के लिए, आव्यूह का क्रम बराबर होना चाहिए।
• दो आव्यूह के गुणन के लिए, पहले आव्यूह में स्तंभों की संख्या पहले आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
• दो आव्यूह के गुणन में, परिणामी आव्यूह का क्रम ऐसा होता है कि पंक्तियों की संख्या पहले आव्यूह के बराबर होती है, और स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह के बराबर होती है।