आव्यूहों का अंतर: Difference between revisions

Revision as of 18:36, 29 November 2024

आव्यूहों का अंतर दो या अधिक आव्यूहों के संगत तत्वों के घटाव को संदर्भित करता है। आव्यूह डेटा को पंक्तियों और स्तंभों के रूप में व्यवस्थित करने के लिए एक गणितीय प्रारूप है। आव्यूहों का अंतर तत्वानुसार आव्यूहों अंतर के माध्यम से किया जा सकता है। आव्यूहों पर अलग-अलग संचालन लागू किए जा सकते हैं जैसे जोड़, घटाव और गुणा। इस लेख में, हम मुख्य रूप से आव्यूह के अंतर के संचालन पर ध्यान केंद्रित करेंगे। आव्यूह का अंतर आव्यूह के संगत तत्वों को घटाने की एक प्रक्रिया है। आव्यूह का अंतर आव्यूह के जोड़ के समान तरीके से किया जाता है। आव्यूह जोड़ की बाधाएँ आव्यूह अंतर के लिए भी लागू होती हैं। आव्यूह का अंतर मात्र समान आकार के आव्यूह के लिए परिभाषित किया गया है। आइए उदाहरणों का उपयोग करके अवधारणा का विस्तार से पता लगाएं।

परिभाषा

आव्यूहों का अंतर एक ही क्रम के आव्यूहों के तत्वानुसार अंतर का एक संचालन है, यानी, ऐसे आव्यूहों जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है। यदि किसी आव्यूह में क्षैतिज पंक्तियों की संख्या ' $m$ ' है और ऊर्ध्वाधर स्तंभों की संख्या ' $n$ ' है, तो आव्यूह को ' $m\times n$ ' आयाम वाला कहा जाता है। आव्यूहों के अंतर के लिए, घटाए जाने वाले आव्यूहों का उसी आयाम का होना आवश्यक है, जिस आयाम में हम आव्यूहों के संगत तत्वों को घटाते हैं।

आव्यूहों का अंतर अर्थ आव्यूहों का अंतर या आव्यूह अंतर केवल तभी संभव हो सकता है जब दोनों आव्यूहों की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान हो। दो आव्यूहों को घटाते समय, हम प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ के तत्वों को दूसरे आव्यूह की पंक्ति और स्तंभ के संगत तत्वों से घटाते हैं। एक ही क्रम ' $m\times n$ ' के दो आव्यूहों $A$ और $B$ पर विचार करें, जहाँ $m$ पंक्तियों की संख्या है और $n$ दो आव्यूहों के स्तंभों की संख्या है, जिन्हें $A=[a_{ij}]$ और $B=[b_{ij}]$ के रूप में दर्शाया गया है। अब, दो आव्यूहों $A$ और $B$ का अंतर इस प्रकार दिया गया है: $A-B=[a_{ij}]-[b_{ij}]=[a_{ij}-b_{ij}],$ जहाँ $ij$ , $i$ th पंक्ति और $j$ th स्तंभ में प्रत्येक तत्व की स्थिति को दर्शाता है। अंतर आव्यूह का आयाम, अर्थात $A-B$ भी ' $m\times n$ ' है।

$={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&..&..&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&..&..&a_{2n}\\:&:&:&..&..&:\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&..&..&a_{mn}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}&..&..&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}&..&..&b_{2n}\\:&:&:&..&..&:\\b_{m1}&b_{m2}&b_{m3}&..&..&b_{mn}\end{bmatrix}}$

$= [\begin{matrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} & a_{13} - b_{13} & . . & . . & a_{1 n} - b_{1 n} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} & a_{23} - b_{23} & . . & . . & a_{2 n} - b_{2 n} \\ : & : & : & . . & . . & : \\ a_{m 1} - b_{m 1} & a_{m 2} - b_{m 2} & a_{m 3} � \end{matrix}$

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 <math>3  \times 3 </math> आव्यूहों  का आव्यूह अंतर का तात्पर्य है कि एक दूसरे से घटाए जाने वाले आव्यूहों  में <math>3 </math> पंक्तियाँ और <math>3 </math> स्तंभ हैं। आव्यूहों  घटाते समय, हम एक आव्यूहके तत्वों को दूसरे आव्यूहके संगत तत्वों से घटाते हैं। <math>3  \times 3 </math> क्रम के आव्यूहों  <math>A</math> और <math>B</math>  के अंतर का सामान्य रूप है:
+<math>A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13}\\ a_{21} & a_{22}& a_{23} \\ a_{31} & a_{32} &a_{33}\end{bmatrix}</math>  और   <math>A=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} &b_{13}\\ b_{21} & b_{22}& b_{23} \\ b_{31} & b_{32} &b_{33}\end{bmatrix}</math>
+<math>A-B=\begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13}\\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & a_{23}-b_{23} \\ a_{31}-b_{31} & a_{32}-b_{32} & a_{33}-b_{33}\end{bmatrix}</math>
-कृपया ध्यान दें कि आव्यूहों  के अंतर के लिए आव्यूहों  का वर्गाकार आव्यूहों  होना ज़रूरी नहीं है। यदि आव्यूहों  का क्रम समान है, तो आयताकार आव्यूहों  का आव्यूहअंतर भी परिभाषित किया जाता है।
+यहाँ ध्यान देंने  कि आवश्यकता है की आव्यूहों  के अंतर के लिए आव्यूहों  का वर्गाकार आव्यूहों  होना आवश्यक नहीं है। यदि आव्यूहों  का क्रम समान है, तो आयताकार आव्यूहों  का आव्यूह अंतर भी परिभाषित किया जाता है।
 == आव्यूह अंतर के गुणधर्म ==