एक चर राशि के रैखिक असमिकाओं का बीजगणितीय हल और उनका आलेखीय निरूपण

रैखिक असमिकाओं पर किए जाने वाले $4$ प्रकार के संक्रिया जोड़, घटाव, गुणा और भाग हैं। समान समाधान वाली रैखिक असमिकाओं को समतुल्य असमिका कहा जाता है। समानता और असमिका दोनों के लिए नियम हैं। नीचे दिए गए सभी नियम ($\leq$) से कम या बराबर और ($\geq$) से अधिक या बराबर वाली असमिकाओं के लिए भी सही हैं। रैखिक असमिकाओं को हल करने का तरीका सीखने से पहले, आइए इन सभी ऑपरेशनों के लिए असमिका के कुछ महत्वपूर्ण नियमों को देखें।

रैखिक असमिकाओं की प्रणाली को हल करना

बहु-चरणीय एक चर में रैखिक असमिकाओं को हल करना बहु-चरणीय रैखिक समीकरणों को हल करने के समान है; चर को स्थिरांक से अलग करके शुरू करें। असमानताओं के नियमों के अनुसार, जब हम बहु-चरणीय रैखिक असमानताओं को हल कर रहे होते हैं, तो हमारे लिए यह महत्वपूर्ण है कि हम ऋणात्मक संख्याओं से गुणा या भाग करते समय असमिका चिह्न को उलटना न भूलें।

चरण 1: असमिका के नियमों के अनुसार दोनों तरफ असमिकाको सरल करें - $LHS$ के साथ-साथ $RHS$ पर भी।

चरण 2: जब मान प्राप्त हो जाता है, यदि असमिका एक सख्त असमिका है, तो $x$ का हल प्रश्न में परिभाषित प्राप्त मान से कम या अधिक होता है। और, यदि असमिका एक सख्त असमिका नहीं है, तो $x$ का हल प्रश्न में परिभाषित प्राप्त मान से कम या बराबर या अधिक या बराबर होता है।

अब, अवधारणा को समझने के लिए, एक उदाहरण के साथ रैखिक असमिकाओं को हल करने का प्रयास करें।

$2x+3>7$

इस रैखिक असमिका को हल करने के लिए, हम नीचे दिए गए चरणों का पालन करेंगे:

$2x>7-3\Rightarrow 2x>4\Rightarrow x>2$

इस असमिका का समाधान $x$ के उन सभी मानों का समूह होगा जिनके लिए यह असमिका $x>2$ संतुष्ट है, यानी $2$ से सख्ती से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ।

दोनों पक्षों पर चर के साथ रैखिक असमानताओं को हल करना

आइए हम सीखी गई अवधारणा को लागू करके एक चर के साथ रैखिक असमिकाओं को हल करने का प्रयास करें। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।

$3x-15>2x+11$

हम इस प्रकार आगे बढ़ते हैं:

$-15-11>2x-3x\Rightarrow -26>-x\Rightarrow x>26$

रैखिक असमिकाओं की प्रणाली को रेखांकन द्वारा हल करना

दो-चर रैखिक असमिकाओं की प्रणाली$ax+by>c$ या $ax+by\leq c$ के रूप की होती है। असमिकाओं के चिह्न दिए गए असमिकाओं के समूह के अनुसार बदल सकते हैं। दो-चर रैखिक असमिकाओं की प्रणाली को हल करने के लिए, हमारे पास कम से कम दो असमानताएँ होनी चाहिए। अब, दो चरों में रैखिक असमिकाओं की प्रणाली को हल करने के लिए, आइए एक उदाहरण पर विचार करें।

$2y-x>1$ और $y-2x<-1$

सबसे पहले, हम दी गई असमिकाओं को ग्राफ पर अंकित करेंगे। ऐसा करने के लिए, दिए गए चरणों का पालन करें:

असमिका चिह्न को = के बराबर से बदलें, अर्थात, हमारे पास $2y-x=1$ और $y-2x=-1$ है। चूँकि रैखिक असमिका सख्त है, इसलिए हम ग्राफ पर बिंदीदार रेखाएँ खींचते हैं।

जाँचें कि क्या मूल बिंदु $(0,0)$ दी गई रैखिक असमिकाओं को संतुष्ट करता है। यदि ऐसा है, तो उस रेखा के एक तरफ के क्षेत्र को छायांकित करें जिसमें मूल बिंदु उपस्थित है। यदि मूल बिंदु रैखिक असमिका को संतुष्ट नहीं करता है, तो उस रेखा के एक तरफ के क्षेत्र को छायांकित करें जिसमें मूल बिंदु उपस्थित नहीं है।

चित्र-रैखिक असमिकाओं

$2y-x>1$ के लिए, $(0,0)$ को प्रतिस्थापित करें, हमारे पास है:$2\times 0-0>1\Rightarrow 0>1$ जो सत्य नहीं है। इसलिए, रेखा $2y-x=1$ के उस पक्ष को छायांकित करें जिसमें मूल बिंदु उपस्थित नहीं है। इसी तरह, $y-2x=-1$ के लिए, $(0,0)$ प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है: जो ​​सत्य नहीं है। इसलिए, रेखा $y-2x=-1$ की भुजा है जिसमें मूल उपस्थित $0-2\times 0<-1\Rightarrow 0<-1$नहीं है।

उभयनिष्ठ छायांकित वह संभव क्षेत्र होगा जो रैखिक असमिकाओं की प्रणाली का समाधान बनाता है। यदि कोई उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र नहीं है, तो समाधान मौजूद नहीं है। नीचे दिए गए ग्राफ में बैंगनी रंग का क्षेत्र रैखिक असमिकाओं की दी गई प्रणाली का समाधान दिखाता है।

रैखिक असमिकाओं का आलेखीय निरूपण

एक चर वाली रैखिक असमिकाओं को संख्या रेखा पर प्लॉट किया जाता है, क्योंकि आउटपुट एक चर का हल देता है। इसलिए, एक चर वाली रैखिक असमिकाओं का ग्राफ़ केवल संख्या रेखा का उपयोग करके किया जाता है। इसके विपरीत, दो चर वाली रैखिक असमिकाओं को दो-आयामी $x$ और $y$