प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरणों को हल करने की विधियाँ

प्रथम कोटी अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जहाँ अवकलज का अधिकतम कोटी एक होता है और इस समीकरण में कोई अन्य उच्च-कोटी अवकलज नहीं दिखाई दे सकता है। प्रथम-कोटी अवकल समीकरण साधारणतः $F(x,y,y')=0$ के रूप का होता है, जहाँ $y$ एक आश्रित चर है और $x$ एक स्वतंत्र चर है और $y'$ अवकल समीकरण में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। इसे $F(t,f(t),f'(t))=0$ के रूप में भी लिखा जा सकता है, जहाँ $f(t)$अवकल समीकरण का हल है। एक रैखिक प्रथम कोटी अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसका अवकलज कोटी एक है और समीकरण की घात भी एक है।

इस लेख में, हम प्रथम कोटी अवकल समीकरणों की अवधारणा, उनके हल ज्ञात करने के उपाय, प्रथम कोटी प्रारंभिक मान समस्या अवकल समीकरणों और उनके अनुप्रयोगों का पता लगाएंगे। हम अवधारणा की बेहतर समझ के लिए कुछ उदाहरण हल करेंगे।

परिभाषा

एक प्रथम कोटी अवकल समीकरण को साधारणतः $F(x,y,y')=0$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $y'$ प्रथम-कोटी अवकलज है और समीकरण में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है, $x$ एक स्वतंत्र चर है और $y,\ x$का एक फ़ंक्शन है। हम कहते हैं कि फ़ंक्शन $f(t)$ प्रथम कोटी अवकल समीकरण$F(t,f(t),f'(t))=0$ का हल है, $t$ के सभी मानों के लिए। प्रथम-कोटी अवकल समीकरण का एक वास्तविक जीवन उदाहरण न्यूटन के शीतलन नियम का समीकरण है, जो $y'=k(M-y)$ द्वारा दिया गया है और इसे $F(t,y,y')=k(M-y)-y'$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। आइए प्रथम कोटी के अवकल समीकरणों के कुछ अन्य उदाहरण देखें:

• $y'=t^{2}+1\Rightarrow F(t,y,y')=t^{2}+1-y'$
• $y'=2(25-y)\Rightarrow F(t,y,y')=2(25-y)-y'$
• $mv'(t)=-mg\Rightarrow F(t,v,v')=-mg-mv'(t)$

प्रथम कोटी प्रथम घात अवकल समीकरण

प्रथम कोटी , प्रथम घात अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसमें प्रथम-कोटी अवकलज उपस्थित होता है तथा इस समीकरण में कोई अन्य उच्चतर-कोटी अवकलज नहीं आ सकता है तथा अवकलज की घात एक होती है।

रैखिक प्रथम कोटी अवकल समीकरण

रैखिक प्रथम कोटी अवकल समीकरण $y'+yP(x)=Q(x)$ या $dy/dx+yP(x)=Q(x)$ के रूप का होता है, जहाँ $y,P,Q,x$ के फलन हैं, और$y',y$ का प्रथम-कोटी अवकलज है। ऐसे अवकल समीकरणों में अवकलज की घात एक के बराबर होती है, इसीलिए इसे रैखिक प्रथम कोटी अवकल समीकरण कहा जाता है। हम ऐसे समीकरणों को समाकलन कारकों की विधि का उपयोग करके हल कर सकते हैं।

हल प्रथम कोटी अवकल समीकरण

अब, हम विभिन्न तरीकों जैसे चरों को अलग करना, कारक विधि को समाकलन करना, मापदंडों की भिन्नता आदि का उपयोग करके प्रथम कोटी अवकल समीकरणों को हल कर सकते हैं। हम समरूप प्रथम-कोटी अवकल समीकरण $y'+yP(x)=0$ के अनुरूप एक विशेष हल $p(x)$ और एक व्यापक हल $g(x)$ निर्धारित कर सकते हैं और फिर गैर-समरूप प्रथम कोटी अवकल समीकरण $y'+yP(x)=Q(x)$का व्यापक हल $y(x)=p(x)+g(x)$ द्वारा दिया जाता है। आइए प्रत्येक विधि के अनुप्रयोग को समझने के लिए विभिन्न तरीकों का उपयोग करके कुछ उदाहरणों को हल करें।

पृथक करने योग्य प्रथम कोटी अवकल समीकरण

पृथक करने योग्य प्रथम कोटी अवकल समीकरण का व्यापक रूप $dy/dx=$