रोले का प्रमेय

कलन में, रोले का प्रमेय बताता है कि यदि कोई अवकलनीय फलन (वास्तविक-मूल्यवान) दो अलग-अलग बिंदुओं पर समान मान प्राप्त करता है, तो उसके बीच कहीं न कहीं कम से कम एक निश्चित बिंदु अवश्य होना चाहिए, जहाँ पहला अवकलज शून्य हो। रोले के प्रमेय का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ मिशेल रोले के नाम पर रखा गया है। रोले का प्रमेय माध्य मान प्रमेय का एक विशेष स्थिति है।

लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को, माध्य मान प्रमेय या प्रथम माध्य मान प्रमेय भी कहा जाता है। साधारणतः, माध्य को दिए गए मानों का औसत माना जाता है, परंतु समाकल के स्थिति में, दो अलग-अलग फलनों का माध्य मान ज्ञात करने की विधि अलग होती है। इस लेख में आइए रोले के प्रमेय और ऐसे फलनों के माध्य मान के साथ-साथ उनकी ज्यामितीय व्याख्या के बारे में जानें।

परिभाषा

रोले के प्रमेय का अध्ययन करने से पहले आइए कलन में लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को समझें।

लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय कथन:

माध्य मान प्रमेय बताता है कि "यदि एक फलन $f$ को बंद अंतराल $[a,b]$ पर परिभाषित किया जाता है जो निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है: i) फलन $f$ बंद अंतराल $[a,b]$ पर संतत है और ii) फलन $f$ खुले अंतराल $(a,b)$ पर अवकलनीय है। तब एक मान $x=c$ इस तरह से उपस्थित होता है कि $f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)''$।

इस प्रमेय को "प्रथम माध्य मान प्रमेय" के नाम से भी जाना जाता है। लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय का एक विशेष स्थिति रोले का प्रमेय है। आइए अब समझते हैं कि रोले का प्रमेय क्या है।

रोले का प्रमेय कथन

रोले का प्रमेय कहता है कि "यदि एक फलन $f$ को बंद अंतराल $[a,b]$ में इस तरह से परिभाषित किया जाता है कि यह निम्नलिखित शर्त को संतुष्ट करता है: i) $f[a,b]$ पर संतत है, ii)$f(a,b)$ पर अवकलनीय है, और iii) $f(a)=f(b),$ तो $x$ का कम से कम एक मान उपस्थित है, आइए हम इस मान को $c$ मानें, जो $a$ और $b$ के बीच स्थित है यानी $(a<c<b)$ इस तरह से कि $f'(c)=0$."

गणितीय रूप से, रोले के प्रमेय को इस प्रकार कहा जा सकता है: मान लें कि $f:[a,b]\rightarrow R,[a,b]$ पर सतत है और $(a,b)$ पर अवकलनीय है, जैसे कि $f(a)=f(b),$ जहाँ $a$ और $b$ कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं। तब $(a,b)$ में कुछ $c$ उपस्थित होता है जैसे कि $f'(c)=0$

रोले के प्रमेय की ज्यामितीय व्याख्या

रोले के प्रमेय की ज्यामितीय व्याख्या

दिए गए आलेख में, वक्र $y=f(x),$ $x=a$और $x=b$ के बीच सतत है और अंतराल के भीतर प्रत्येक बिंदु पर, भुज के अनुरूप एक स्पर्शरेखा और निर्देशांक खींचना संभव है और समान हैं, तो वक्र के लिए कम से कम एक स्पर्शरेखा उपस्थित है जो $x$-अक्ष के समानांतर है।

बीजगणितीय रूप से, यह प्रमेय हमें बताता है कि यदि $f(x),\ x$ में एक बहुपद फलन को दर्शाता है और समीकरण$f(x)=0$ के दो मूल $x=a$ और $x=b$ हैं, तो समीकरण $f'(x)=0$ का कम से कम एक मूल इन मानों के बीच स्थित होता है। रोले के प्रमेय का प्रतिलोम सत्य नहीं है और यह भी संभव है कि $x$ के एक से अधिक मान उपस्थित हों, जिसके लिए प्रमेय सही है लेकिन ऐसे एक मान के अस्तित्व की निश्चित संभावना है।

रोले के प्रमेय का प्रमाण

जब किसी प्रमेय को सीधे सिद्ध किया जाता है, तो आप यह मानकर प्रारंभ करते हैं कि सभी शर्तें पूरी हो चुकी हैं। इसलिए, नीचे दी गई हमारी चर्चा केवल उन फलनों से संबंधित है

जो $[a,b]$ पर संतत है,

जो अवकलनीय $(a,b)$ है,

और जिसमें $$