अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण

रेखा का समीकरण बिंदुओं के समूह को दर्शाने का एक बीजीय रूप है, जो एक साथ मिलकर एक निर्देशांक प्रणाली में एक रेखा बनाते हैं। निर्देशांक अक्ष में एक साथ मिलकर एक रेखा बनाने वाले असंख्य बिंदुओं को $(x,y)$ के रूप में दर्शाया जाता है और $x$ और $y$ के बीच का संबंध एक बीजीय समीकरण बनाता है, जिसे रेखा का समीकरण कहा जाता है। किसी भी रेखा के समीकरण का उपयोग करके, हम यह पता लगा सकते हैं कि दिया गया बिंदु रेखा पर स्थित है या नहीं।

रेखा का समीकरण एक घात वाला एक रैखिक समीकरण है। आइए रेखा के समीकरण के विभिन्न रूपों और रेखा के समीकरण को ज्ञात करने के तरीके के बारे में अधिक समझें।

परिभाषा

रेखा का समीकरण $x$ और $y$ चरों में रैखिक होता है जो रेखा पर प्रत्येक बिंदु $(x,y)$ के निर्देशांकों के बीच संबंध को दर्शाता है। यानी, रेखा का समीकरण उस पर स्थित सभी बिंदुओं से संतुष्ट होता है।

रेखा का समीकरण रेखा के ढलान और रेखा पर एक बिंदु की सहायता से बनाया जा सकता है। आइए रेखा के ढलान और रेखा पर आवश्यक बिंदु के बारे में अधिक समझें, ताकि रेखा के समीकरण के निर्माण को बेहतर ढंग से समझा जा सके। रेखा का ढलान सकारात्मक $x$-अक्ष के साथ रेखा का झुकाव है और इसे संख्यात्मक पूर्णांक, अंश या सकारात्मक $x$-अक्ष के साथ कोण के स्पर्शरेखा के रूप में व्यक्त किया जाता है। बिंदु $x$ निर्देशांक और $y$ निर्देशांक के साथ रेखा पर एक बिंदु को संदर्भित करता है

ढलान $m$ वाली और बिंदु $(x_{1},y_{1})$ से गुजरने वाली रेखा के समीकरण का अभिलम्ब रूप इस प्रकार दिया गया है: $y-y_{1}=m(x-x_{1})$$y-y_{1}=m(x-x_{1})$। इसके अतिरिक्त, इस समीकरण को हल किया जा सकता है और इसे रेखा के समीकरण के मानक रूप / ढलान-अवरोधन रूप / अवरोधन रूप में सरलीकृत किया जा सकता है।

अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण

रेखा के समीकरण का मानक रूप

रेखा के समीकरण का मानक रूप $ax+by+c=0$ है। यहाँ $a,b$ गुणांक हैं, $x$, $y$ चर हैं, और $c$ स्थिर पद है। यह एक घात एक समीकरण है, जिसमें चर $x$ और $y$ हैं। $x$ और $y$ के मान निर्देशांक तल में दर्शाई गई रेखा पर बिंदु के निर्देशांक दर्शाते हैं। रेखा के समीकरण के इस मानक रूप को लिखने की प्रक्रिया में निम्नलिखित त्वरित नियमों का पालन किया जाना चाहिए।

सबसे पहले $x$ पद लिखा जाता है, उसके बाद $y$-पद और अंत में स्थिर पद लिखा जाता है।

गुणांक और स्थिर मानों को भिन्न या दशमलव के रूप में नहीं लिखा जाना चाहिए और उन्हें पूर्णांक के रूप में लिखा जाना चाहिए।

$x$ के गुणांक '$a$' का मान सदैव एक धनात्मक पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है।

मानक रूप में रेखा का समीकरण: $ax+by+c=0$

जहाँ,

$a,b$ गुणांक हैं

$x$, y चर हैं

$c$ स्थिर है

रेखा का समीकरण सूत्र

रेखा के लिए ज्ञात मापदंडों के आधार पर रेखा के समीकरण को लिखने के लगभग पाँच मूल सूत्र हैं। रेखा के समीकरण को खोजने और दर्शाने के लिए उपयोग किए जाने वाले ये विभिन्न सूत्र नीचे दिए गए हैं,

• बिंदु ढलान रूप: $(y-y_{1})=m(x-x_{1})$
• दो बिन्दु रूप: $(y-y_{1})=[(y_{2}-y_{1})/(x_{2}-x_{1})](x-x_{1})$
• ढलान अवरोधन रूप: $y=mx+c$
• अवरोधन रूप: $x/a+y/b=1$
• अभिलम्ब रूप: $x\ cos\theta +y\ sin\theta =p$

आइये हम रेखा के समीकरण के प्रत्येक रूप के बारे में अधिक जानने का प्रयास करें।

रेखा के समीकरण का बिंदु ढलान रूप

रेखा के समीकरण के बिंदु-ढलान रूप के लिए रेखा पर एक बिंदु और रेखा का ढलान आवश्यक है। यदि $(x_{1},y_{1})$ रेखा पर एक बिंदु है और रेखा का ढलान $m$ है, तो बिंदु-ढलान रूप में रेखा का समीकरण है:

$(y-y_{1})=m(x-x_{1})$

यहाँ $m=$ रेखा का ढलान है और रेखा का ढलान धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य ढलान हो सकता है।

रेखा के समीकरण का दो बिंदु रूप

रेखा के समीकरण का दो बिंदु रूप रेखा के समीकरण के बिंदु-ढलान रूप का विस्तार है। रेखा के समीकरण के बिंदु-ढलान रूप में ढलान$m=(y_{2}-y_{1})/(x_{2}-x_{1})$ को रेखा के समीकरण के दो बिंदु रूप में प्रतिस्थापित किया जाता है। दो बिंदुओं $(x_{1},y_{1})$ और $(x_{2},y_{2})$ से रेखा समीकरण दो-बिंदु रूप द्वारा दिया गया है, जो इस प्रकार है।

$(y-y_{1})=[(y_{2}-y_{1})/(x_{2}-x_{1})](x-x_{1})$

रेखा के समीकरण का ढलान अवरोधन रूप

रेखा का ढलान-अवरोधन रूप $y=mx+c$ है। यहाँ $m$ रेखा का ढलान है और '$c$' रेखा का $y$