कलन की आधारभूत प्रमेय

कलन का आधारभूत प्रमेय (FTC-(फंडामेंटल थ्योरम ऑफ़ कैलकुलस)) हमें अवकलन और समाकलन के बीच संबंध बताता है। इस संबंध की खोज सर आइज़ैक न्यूटन और गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ ने 1600 के दशक के अंत में की थी। FTC के दो भाग हैं: FTC 1 और FTC 2

हम इस तथ्य से अवगत हैं कि अवकलन और समाकलन एक दूसरे की विपरीत प्रक्रियाएँ हैं और पहला FTC इसे उचित ठहराता है। हम यह भी जानते हैं कि एक निश्चित समाकल का मूल्यांकन पहले अनिश्चित समाकल का मूल्यांकन करके और फिर ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करके किया जाता है, और यह प्रक्रिया दूसरे FTC द्वारा उचित ठहराई जाती है।

परिभाषा

कलन के आधारभूत प्रमेय के दो भाग हैं। ये प्रमेय शक्तिशाली हैं क्योंकि वे रीमैन योगों का उपयोग किए बिना निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने में सहायक हैं (या वे वक्रों के बीच के क्षेत्र की गणना करने में सहायक हैं)। यहाँ कलन के आधारभूत प्रमेयों के कथन दिए गए हैं।

FTC 1:	${d \over dx}{\int _{a}^{x}}f(x)dx=f(x)$
FTC 2:	$\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$जहाँ $F(x)=\int f(x)dx$

कलन का आधारभूत प्रमेय सूत्र

कलन के आधारभूत प्रमेय के दो सूत्र हैं:

• भाग 1 (FTC 1) है $d/dx{\int _{a}^{x}}f(t)dt=f(x)$
• भाग 2 (FTC 1) है $\int _{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a),$ जहाँ $F(x)=\int _{a}^{b}f(x)dx$

आइए इन प्रमेयों में से प्रत्येक के बारे में उनके प्रमाणों के साथ विस्तार से जानें।

कलन का पहला आधारभूत प्रमेय (भाग 1)

कलन का पहला आधारभूत प्रमेय (FTC भाग 1) एक समाकल के अवकलन को ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है और इसलिए यह अवकलन और समाकल के बीच संबंध को परिभाषित करता है। इस प्रमेय का उपयोग करके, हम वास्तव में निश्चित समाकल का मूल्यांकन किए बिना एक निश्चित समाकल के अवकलन का मूल्यांकन कर सकते हैं। कलन का पहला आधारभूत प्रमेय (FTC 1) इस प्रकार बताया गया है।

"यदि $f(x)$ एक ऐसा फलन है जो $[a,b]$ पर सांतत्य है और $(a,b)$ पर अवकलनीय है और यदि $F(x)$ को $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो $F'(x)=f(x)$ अंतराल $[a,b]$ पर" (या)

"$d/dx\int _{a}^{x}f(t)dt=f(x)$"

अब हम इस प्रमेय को सिद्ध करते हैं।

प्रमाण

फलन के अवकलन की परिभाषा के अनुसार,

$F'(x)=\textstyle \lim _{h\to 0}\displaystyle [F(x+h)-F(x)]/h$

यह दिया गया है कि $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$ उपरोक्त समीकरण में इस परिभाषा का उपयोग करते हुए,

$F'(x)=\textstyle \lim _{h\to 0}\displaystyle (1/h)[\int _{a}^{x+h}f(t)dt-\int _{a}^{x}f(t)dt]$

निश्चित समाकलों के गुणधर्म के अनुसार, $\int _{a}^{b}f(x)dx=-{\int _{b}^{a}}f(x)dx$ उपरोक्त समीकरण में इसका उपयोग करते हुए,

$F^{\prime }(x)=\underset{h\to <!--\; \to \; -->0}{lim}(1/h)[{\int <!--\; \int \; -->}_a^{x+h}f(t)dt+{\int <!--\; \int \; -->}_x^{a}f(t)$